Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2.4 Алгоритмы метода Жордана
К результату (2.12) приводит следующий алгоритм Гаусса-Жордана:
Начальное значение: A
(1)
= A.
Для k = 1 до n выполнять
A
(k+1)
= (T
C
k
)
−1
D
−1
k
A
(k)
,
где элементы
D
−1
k
(k, k) = 1/A
(k)
(k, k),
T
C
k
(i, k) = A
(k)
(k, k)(i, k), i = 1, 2, . . . , n, i 6= k
суть множители для нормировки и вычитаний, соот в етственно.
Множ ители, возникающие в э т ом алгоритме, образуют так называемую
таблицу множителей. По сущес т в у, это матрица, которая займет место
исходной матрицы A по окончании всего алгоритма:
D
−1
1
(1, 1) T
C
1
(1, 2) T
C
1
(1, 3) ···
T
C
1
(2, 1) D
−1
1
(2, 2) T
C
1
(2, 3) ···
T
C
1
(3, 1) T
C
1
(3, 2) D
−1
1
(3, 3) ···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. (2.13)
Воспользуемся свойством в чет вертой строке табл. 2.1, T
C
i
= L
C
i
U
C
i
в ег о
инверсной форме (T
C
i
)
−1
= (U
C
i
)
−1
(L
C
i
)
−1
, и подставим его в (2.12), а также
свойствами коммутативности из этой таблицы. Это дает возможность пере-
группировать сомножители в (2.12) следующим образом:
(U
C
n
)
−1
···(U
C
2
)
−1
(U
C
1
)
−1
·
(L
C
n
)
−1
D
−1
n
···(L
C
2
)
−1
D
−1
2
(L
C
1
)
−1
D
−1
1
A = I.
Второй сомножитель в квадратных скобках совпадает с ма т рицей L
−1
для
L
¯
U-разложения матрицы A. Первый сомножитель в квадратных скобках
есть матрица U
−1
для этого разложения. П равило суперпозиции, согласно
табл. 2.1, действует для пе рвого сомножителя (в нем индексы матриц убы-
вают слева-направо) и не действует для второго сомножителя. Однако для
L = D
1
L
C
1
D
2
L
C
2
···D
n−1
L
C
n−1
D
n
L
C
n
правило суперпозиции действует. Супер-
позиция, т. е. постановка элементов матриц на принадлежащие им позиции,
реализуется автоматически по ходу алгоритма. Поэтому в нижней треуголь-
ной части мат рицы (2.13) (кроме диагонали) образуется матрица L, диаго-
нальные элементы матрицы L предс тавлены на диагонали, но в инверсном
виде (там — обратные з начения этих элементов), а выше диагонали располо-
жены элементы той матрицы, для которой дейст в ует правило суперпозиции,
т. е. элементы мат рицы U
−1
. В работе алгоритма пере м ены знаков у этих
39

Страницы