Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2 Стандартные алгоритмы LU-разложения
Таблица 2.1. Свойства специальных элементарных матриц
Коммутативность в операции умножения
L
C
i
D
j
= D
j
L
C
i
, i > j U
C
i
D
j
= D
j
U
C
i
, i < j
L
R
i
D
j
= D
j
L
R
i
, i < j U
R
i
D
j
= D
j
U
R
i
, i > j
L
C
i
U
C
j
= U
C
j
L
C
i
, i ≥ j L
R
i
U
R
j
= U
R
j
L
R
i
, i ≤ j
L
C
i
U
C
i
= U
C
i
L
C
i
= T
C
i
L
R
i
U
R
i
= U
R
i
L
R
i
= T
R
i
Операция об ра щения матриц
D
−1
i
получается из D
i
заменой нетриви-
ального элемента d
ii
на d
−1
ii
с сохранением
знака этого элемента
E
−1
, где E ∈ {L
C
k
, L
R
k
, U
C
k
, U
R
k
, T
C
k
, T
R
k
} по-
лучается из E заменой знаков нетриви-
альных элементов на противоположные
Применимость правила суперпозиции вместо перемножения матриц
L
C
i
L
C
j
L
C
k
, i < j < k L
R
i
L
R
j
L
R
k
, i < j < k
U
C
i
U
C
j
U
C
k
, i > j > k U
R
i
U
R
j
U
R
k
, i > j > k
L = D
1
L
C
1
D
2
L
C
2
···D
n−1
L
C
n−1
D
n
L
C
n
L = L
R
1
D
1
L
R
2
D
2
···L
R
n−1
D
n−1
L
R
n
D
n
U = D
n
U
C
n
D
n−1
U
C
n−1
···D
2
U
C
2
D
1
U
C
1
U = U
R
n
D
n
U
R
n−1
D
n−1
···U
R
2
D
2
U
R
1
D
1
U
R
k
— строчно-элементарная верхняя треугольная k-матрица. Имеет еди-
ничную диагональ и нетривиальные элементы только в k-й строке.
T
C
k
— полно-столбцово-элементарная верхняя треугольная k-матрица. Со-
держит единичную диагональ и нетривиальные элементы только в k-м
столбце.
T
R
k
— полно-строчно-элементарная верхняя треугольная k-матрица. Имеет
единичную диагональ и нетривиальные элементы только в k-й строке.
Упражнение 2.5. Докажите свойства этих эле ментарных мат риц,
приведенные в таб л. 2.1.
Продолжим доказательство теоремы 2.3, прерванное на стр. 37.
Приведение данной матрицы A к единичной матрицы, составляющее суть
исключения по методу Гаусса-Жордана, запишем в терминах операций с
введенными специальными элементарными матрицами:
A
(n+1)
= (T
C
n
)
−1
D
−1
n
···(T
C
2
)
−1
D
−1
2
(T
C
1
)
−1
D
−1
1
A = I. (2.12)
38

Страницы