ВУЗ:
Составители:
2.5 Вычисление обратной матрицы
Упражнение 2.6. Объясните, как следует понимать словосочетание
«
¯
L
−1
U-разложение» Жордана. Докажите, что в этом случае выполняется
разложение A =
¯
LU, но матрица
¯
L получается в виде обратной матрицы с
неправильными знаками е е внедиагональных элементов.
Замечание 2.7. Чтобы сэкономить процессорное врем я, целесо-
образно везде пользоваться обратными величинами ведущих элеме нтов , как
это сделано на диагонали в таблице множителей (2.13).
2.5 Вычисление обратной матрицы
Есть два способа вычисления обратной матрицы A
−1
: через решение си-
стемы Ax = f с различными правыми частями f и непосредственно через
разложение матрицы A в произведение треуг о льных матриц. В первом спо-
собе правая часть f последовательно пробегает значения столбцов e
i
единич-
ной матрицы I, при этом для каждой из них найденное решение x системы
Ax = f образ ует i-й столбец искомой матрицы A
−1
. Это, очевидно, соответ-
ствует решению мат ричного уравнения AX = I, так как X = A
−1
.
Второй способ основан на том, что если A = L
¯
U, то A
−1
=
¯
U
−1
L
−1
. Это
называют элиминативной формой обратной матрицы [10], так как здесь
A
−1
находят непосредств енно по разложению A = L
¯
U, которое с ам о по
себе эквивалентно процедуре гауссова исключения (elimination) неизв ест-
ных. Рассмотрим этот способ и характеризуем особенности е го программ-
ной ре ализа ции более подробно. Для численной иллюстрации рассмотрим
следующий пример.
Пример 2.1. Пусть для данной матрицы A найдено A = L
¯
U:
A =
2 4 −4 6
1 4 2 1
3 8 1 1
2 5 0 5
, L =
2
1 2
3 2 3
2 1 2 4
,
¯
U =
1 2 −2 3
1 2 −1
1 −2
1
.
Известная особенность реализации такого разложе ния заключается в том,
что результат разложения заме щает исходную матрицу, т. е. имеем
исходный массив ⇒ результирующий массив
2 4 −4 6
1 4 2 1
3 8 1 1
2 5 0 5
⇒
2
2 −2 3
1 2
2 −1
3 2 3
−2
2 1 2 4
.
(2.14)
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
