Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2 Стандартные алгоритмы LU-разложения
Следовательно, до начала вычисления обратной матрицы A
−1
в наличии
имеем две матрицы: матрицу L — в нижней треугольной части массива вме-
сте с диагональю, матрицу
¯
U — в верхней треугольной части массива без
единичной (известной по умолчанию) диагонали. Запишем A
−1
=
¯
U
−1
×L
−1
,
где символ × обо значает процедуру перемножения треугольных матриц
¯
U
−1
и L
−1
в указанном порядке. Тем самым отм ечаем, что это должна быть спе-
циальная, а не общая процедура, экономящая время вычислений за счет
исключения операций умножения на заведомо нулевые эле м енты сомножи-
телей
¯
U
−1
и L
−1
.
Сомнож ители
¯
U
−1
и L
−1
нужно вычислять также по специальным про-
цедурам, для которых исходные данные
¯
U и L берутся из массива, назван-
ного в в ыражении (2.14) результирующим массивом пос ле факторизации
A = L
¯
U. Результаты
¯
U
−1
и L
−1
работы этих процедур записываются в этот
же результирующий массив.
Вывод алгоритмов процедур для L
−1
и для
¯
U
−1
основан на свойствах
элементарных треугольных матриц, в частности, на свойстве «суперпози-
ции вместо перемножения». Для L это свойство означает, что произведение
L = L
1
L
2
L
3
L
4
может быть получено не перемножением элементарных мат-
риц L
1
, L
2
, L
3
, L
4
, а суперпозицией (постановкой на с во и позиции) нетриви-
альных с т о лбцов элементарных матриц-сомнож ителей:
L L
1
L
2
L
3
L
4
2
1 2
3 2 3
2 1 2 4
=
2
1 1
3 1
2 1
1
2
2 1
1 1
1
1
3
2 1
1
1
1
4
.
Согласно правилу обращения произведения матриц, L
−1
найдем как ре-
зультат перемножения следующих обратных матриц:
L
−1
4
L
−1
3
L
−1
2
L
−1
1
1
1
1
4
−1
×
1
1
3
2 1
−1
×
1
2
2 1
1 1
−1
×
2
1 1
3 1
2 1
−1
.
Так как индексы у элементарных нижнетреугольных матриц здесь слева
направо уже не возрастают, а убывают, операция перемноже ния × матриц
не может быть заменена суперпозицией. В программной реализации этот
42

Страницы