Составители:
Это условие можно рассматривать как необходимое условие устойчиво-
сти любого приближенного метода решения (
2.2). Под устойчивостью
численного метода подразумевается, что ошибка (отклонение прибли-
женного решения от точного) растет по степенному, а не по экспоненци-
альному закону. Чтобы оно гарантированно удовлетворялось, необходи-
мо, чтобы приближенный оператор эволюции также был унитарным.
Необходимо подчеркнуть, что устойчивость и точность (порядок ап-
проксимации) — независимые свойства численной схемы, и высокая точ-
ность не означает устойчивости. Примером точного, но неустойчивого
метода является метод Рунге–Кутта высокого порядка. Но устойчивость
схемы при решении (
2.2) куда более важна, чем точность.
2.1 Метод Кранка-Николсона
Начнем с того, что выберем однородную сетку по времени с шагом τ. Из
(
2.3) следует
ψ
n+1
= exp
h
−i
ˆ
H(t
n+1/2
)τ
i
ψ
n
(2.5)
Мы заменили интеграл его приближением с помощью формулы прямо-
угольников. Здесь t
n
= nτ, ψ
n
= ψ(x, t
n
). Теперь мы должны выбрать
приближение для экспоненты, поскольку напрямую экспоненту от опе-
ратора, т.е. матрицы, мы подсчитать не можем. Обычное разложение
Тейлора не годится, поскольку приближенный оператор будет неунитар-
ным. На практике это будет оборачиваться экспоненциальным ростом
нормы со временем, т.е. неустойчивостью.
В качестве приближения для экспоненты выберем дробно-рациональную
14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
