Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

аппроксимацию Паде
exp
h
−i
ˆ
H(t
n+1/2
)τ
i
=
I −
iτ
2
ˆ
H(t
n+1/2
)
I +
iτ
2
ˆ
H(t
n+1/2
)
+ O(τ
3
) (2.6)
где I — единичный оператор. То, что это верно, нетрудно проверить с
помощью сравнения разложений Тейлора экспоненты и дроби. Унитар-
ность дробно-рационального оператора очевидна. Подставляя дробно-
рационального оператор в (
2.5) вместо экспоненты и домножая обе части
выражения на I +
iτ
2
H(t
n+1/2
), получаем
I +
iτ
2
ˆ
H(t
n+1/2
)
ψ
n+1
=
I −
iτ
2
ˆ
H(t
n+1/2
)
ψ
n
(2.7)
Если гамильтониан дискретизирован, т.е. превращен в матрицу, напри-
мер с помощью разностной схемы, процедура вычисления сводится к
решению линейной системы уравнений типа (
1.9) относительно вектора
ψ
n+1
. Такой метод называется схемой Кранка-Николсона[
4].
Задание 2: Гармонический осциллятор во внешнем
поле
Написать программу, решающую уравнение (2.2) с помощью метода Кранка-
Николсона (
2.7), разностной схемы (1.5) и прогонки, для гамильтониана
ˆ
H(x, t) = −
1
2
∂
2
∂x
2
+ U(x, t)
В качестве примера рассмотреть гармонический осциллятор с единичной
частотой под действием периодической вынуждающей силы с частотой
ω и амплитудой E
0
U(x, t) =
x
2
2
− E
0
x sin ωt
15

Страницы