Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

отличается от гамильтониана множителем перед нелинейным слагаемым.
Из-за наличия нелинейного слагаемого использование неявных схем
типа метода Кранка-Николсона напрямую невозможно.
3.1 Метод расщепления
Для решения эволюционных уравнений с нелинейностью, а также для
уравнений с гамильтонианом, представимом в виде суммы операторов,
для каждого из которых решить неявное уравнение легко, а вместе -
сложно(например, многомерных), удобно пользоваться методом расщеп-
ления. Он базируется на возможности представить экспонент у от суммы
операторов в виде произведения
e
τ(
ˆ
A+
ˆ
B)
= e
τ
ˆ
A
e
τ
ˆ
B
e
τ
2
2
[
ˆ
A,
ˆ
B]
+ O(τ
3
[
ˆ
A +
ˆ
B, [
ˆ
A,
ˆ
B]]). (3.5)
Заметим, что если операторы
ˆ
A и
ˆ
B коммутируют, экспонента суммы
равна произведению экспонент, как для обычных чисел.
Если мы представим оператор (
3.4) в виде суммы
ˆ
H =
ˆ
H
0
+ V,
где линейный гамильтониан
ˆ
H
0
= −
1
2
∂
2
∂x
2
+ U(x, t)
и нелинейный потенциал
V = g|ψ(x, t)|
2
то мы можем представить эволюционный оператор в виде произв едения
(
3.5). Но в этом произведении присутствует экспонента от коммутатора,
24

Страницы