Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Метод расщепления условно устойчив, т.е. устойчив только при вы-
полнении условия
τ <
1
max(g||ψ||
2
, ||
ˆ
H
0
||)
где под ||ψ|| = max
x∈[a,b]
|ψ(x)| — чебышевская норма, т.е. максимальное
по модулю значение функции, а ||
ˆ
H
0
|| равно максимальному по модулю
собственному значению оператора
ˆ
H
0
. Для разностной схемы ||
ˆ
H
0
|| ≃
2/h
2
и при не слишком больших g должно быть
τ <
h
2
2
(3.8)
Задание 4: Солитоны
Написать программу, решающую уравнение (3.2) с помощью метода рас-
щепления (
3.7) и разностной схемы второго порядка. Как известно, если
потенциал ловушки U(x, t) = 0 и коэффициент нелинейности g < 0, у
(
3.2) имеются солитонные решения [11] вида
ψ
vα
(x, t) =
α
p
|g|
exp
i
2
vx − i
v
2
4
− α
2
t
sech [α(x − vt)] ,
где v — скорость солитона, а параметр α есть величина, обратно про-
порциональная радиусу пакета, и, соответственно, квадрат радиуса D =
π
2
12α
2
. Положить потенциал ловушки U(x, t) = 0, коэффициент нелиней-
ности g < 0 и начальное состояние
ψ(x, 0) = ψ
v,
|g|
2
(x, 0) =
r
|g|
4
exp
i
2
vx
sech
|g|
2
x
;
Проконтролировать точное сохранение нормы и приближенное сохра-
нение средней энергии (
3.3) при шаге по времени τ, удовлетворяющем
26

Страницы