Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

которую вычислить проблематично, и при пренебрежении которой мы
получим схему с точностью порядка O(τ), что не слишком хорошо. Для
того чтобы получить формулу второго порядка без коммутатора, приме-
ним (
3.5) дважды – сначала в прямом, а потом в обратном порядке
e
2τ(
ˆ
A+
ˆ
B)
= e
τ
ˆ
A
e
τ
ˆ
B
e
τ
ˆ
B
e
τ
ˆ
A
+ O(τ
3
[
ˆ
A +
ˆ
B, [
ˆ
A,
ˆ
B]]).
Теперь мы можем представить пропагатор в виде
exp
h
−i(
ˆ
H
0
+
ˆ
V )τ
i
= exp
−
iτ
2
ˆ
H
0
exp(−iτV ) exp
−
iτ
2
ˆ
H
0
+ O(τ
3
).(3.6)
Заметим, что если воспользоваться сеточным методом, то множитель
с нелинейным потенциалом представляет из себя просто экспоненту от
числа, которую вычислить нетрудно. Слои с линейным оператором мож-
но аппроксимировать разложением Паде, что даст на каждом из этих
слоев схему Кранка-Николсона. То что получится в результате, в отече-
ственной литературе называется методом двуциклического расщепления
[
10], а в иностранной — split operator method. Окончательно схему можно
записать в виде
I +
iτ
4
ˆ
H(t
n+1/2
)
ψ
n+1/2
=
I −
iτ
4
ˆ
H(t
n+1/2
)
ψ
n
;
˜
ψ
n+1/2
=
1 −
iτ
2
g|ψ
n+1/2
|
2
1 +
iτ
2
g|ψ
n+1/2
|
2
ψ
n+1/2
(3.7)
I +
iτ
4
ˆ
H(t
n+1/2
)
ψ
n+1
=
I −
iτ
4
ˆ
H(t
n+1/2
)
˜
ψ
n+1/2
;
Заметим, что величины, обозначаемые в схеме ψ
n
, ψ
n+1/2
,
˜
ψ
n+1/2
и ψ
n+1
,
при реализации схемы в виде программы представляются одним и тем
же массивом, только меняющемся на каждом шаге.
25

Страницы