Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

он малоэффективен — расчете возбужденных состояний.
В качестве примера мы рассмотрим одномерное стационарное урав-
нение Гросса-Питаевского [
9]
−
1
2
∂
2
∂x
2
+ U(x) + g|ϕ(x)|
2
ϕ(x) = Eϕ(x). (4.2)
описывающее топологические моды (стационарные состояния) Бозе - кон-
денсата.
4.1 Непрерывный аналог метода Ньютона
Представим решаемую задачу как одно нелинейное уравнение
Φ(Z) = 0 (4.3)
относительно многокомпонентной переменной Z, включающей все неиз-
вестные — функции и скаляры, Φ — нелинейный функционал. Искус-
ственно введем зависимость Z = Z(t) от непрерывного параметра t ∈
[0, ∞). Непрерывный аналог метода Ньютона(НАМН) [
12, 13] определя-
ется задачей Кош и
Φ
′
Z
dZ
dt
= −Φ; Z(0) = Z
0
, (4.4)
где линейный оператор Φ
′
Z
— производная Фреше функционала Φ по Z,
Z(0) = Z
0
— начальное приближение из окрестности искомого решения,
тогда Z(t = ∞) — решение задачи (
4.3).
Для применения НАМН одного уравнения (
4.2) недостаточно, по-
скольку после сеточной аппроксимации оно дает N уравнений для N + 1
переменных: набора значений ϕ(x
i
), i = 1..N и энергии E. В качестве
дополнительного уравнения можно использовать условие нормировки
29

Страницы