Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

После применения конечно-разностное приближения (1.9) для оператора
ˆ
H
0
= −
1
2
∂
2
∂x
2
+U(x) уравнения (
4.10) и (4.11) превращаются в систему ли-
нейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Интегралы в ур.(
4.12)
рассчитываются с помощью формулы приближенного интегрирования,
например
Z
b
a
ϕ(x)f(x) dx =
N
X
i=1
ϕ(x
i
)f(x
i
)h
Для получения следующего приближения необходимо решить задачу
Коши. Численная схема принимает окончательный вид
ˆ
H
0
− E
j
+ 3gϕ
2
j
Υ
j
= ϕ
j
; (4.13)
ˆ
H
0
− E
j
+ 3gϕ
2
j
Θ
j
= 2gϕ
3
j
; (4.14)
E
′
j
=
1
2
1 +
R
b
a
ϕ
2
j
dx
−
R
b
a
ϕ
j
Θ
j
dx
R
b
a
ϕ
j
Υ
j
dx
; (4.15)
ϕ
′
j
= −ϕ
j
+ Θ
j
+ E
′
j
Υ
j
, (4.16)
где E
′
j
=
dE
dt
(t
j
), ϕ
′
j
=
∂ϕ
∂t
(t
j
). З адачу Коши можно решить с помощью
метода Эйлера
ϕ
j+1
= ϕ
j
+ τ
j
ϕ
′
j
;
E
j+1
= E
j
+ τ
j
E
′
j
; (4.17)
t
j+1
= t
j
+ τ
j
,
где шаг τ
j
по “времени” t выбирается как [
13]
τ
j
=
δ
j
(0)
δ
j
(1) + δ
j
(0)
. (4.18)
где δ
j
(τ) — невязка, вычисляемая по формуле
δ
j
(τ) =
n
ˆ
H
0
−
E
j
+ τE
′
j
o
ϕ
j
+ τϕ
′
j
+ g
ϕ
j
+ τϕ
′
j
3
. (4.19)
31

Страницы