Составители:
Рубрика:
13
22
11
(, ,) (, ,)
tt
tt
Lxvt Lxvt
Sxdtvdt
xv
δδ δ
∂∂
=+
∂∂
∫∫
при этом не меняя положения точек начала и конца движения. Пользуясь
интегрированием по частям для второго интеграла и тем, что на концах вариация скорости
равна нулю
22 2
11 1
(,,) (,,) (,,) (,,)
tt t
tt t
Lxvt d Lxvt Lxvt d Lxvt
S xdt xdt xdt
x dtv x dtv
δδ δ δ
∂∂∂∂
=− =−
∂∂∂∂
∫∫ ∫
или, поскольку
x
δ
произвольное, хотя и маленькое
0
dL L
dt v x
∂∂
−=
∂∂
Выведем функцию Лагранжа для движения свободной частицы. Однородность
пространства и времени означает что ф-я Л. Не должна явным образом зависеть от
координат и времени, а изотропность пространства – что может зависеть только от
квадрата скорости.
Принцип относительности Галилея утверждает, что во всех инерциальных системах
отсчета вид уравнений движения должен быть одинаков. Далее опять будем
рассматривать одномерное движение. Рассмотрим систему отсчета, движущуюся
относительно исходной с малой скоростью
ε
. Преобразование Галилея для скорости
vv
ε
′
=+
Если подставить в ф-ю Л. получим
22 22
2
() ( 2 ) () 2
L
L
Lv Lv v Lv v
v
ε
εε
∂
′′
==++ +
∂
Уравнение Лагранжа не меняет формы если к ф-и Л. добавить полную производную по
времени от произвольной ф-ии => второе слагаемое должно быть полной производной,
vx=
&
- полная производная, =>
2
const
2
L
m
v
∂
==
∂
и
2
(,)
2
mv
L
vt T==
Более обще, функция Лагранжа зависит от набора переменных, описывающих состояние
системы, т.н. обобщенных координат и скоростей
11 11 1
(, , ,, , ,) (, , ,, , ) (, , ,)
ss ss s
LLqqqqtTqqqqUqqt==−
&& &&
KK KK K
а уравнения Лагранжа имеют вид
ii
dL L
dt q q
∂∂
=
∂∂
&
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
