Составители:
Рубрика:
14
Принцип наименьшего действия применим не только к механическим системам с
конечным числом степеней свободы, но и бесконечномерным системам. Любое поле
задается своими значениями в каждой точке пространства. Каждое из этих значений
является степенью свободы поля, их бесконечно много, следовательно, поле можно
представить как механическую систему с бесконечным числом степеней свободы.
Максвелл, когда выводил свои уравнения для электромагнитного поля, мысленно
заполнил все пространство бесконечно малыми шестерёнками, и применил принцип
наименьшего действия. Для примера приведём функцию Лагранжа для электромагнитного
поля
22
11
() ()
8
L
dV Aj dV dV
c
ϕρ
π
=Ε−Η+ −
∫∫∫
r
r
где напряженность электрического поля E
r
и напряженность магнитного поля H
r
1
grad ; rot
A
E
HA
ct
ϕ
∂
=− − =
∂
r
r
rr
связаны с потенциалами электромагнитного поля: скалярным
ϕ
и векторным A
r
.
Дифференциальный оператор
rot - ротор, степень «закрученности» векторного поля.
Оператор grad - градиент, направление наиболее быстрого роста скалярного потенциала.
Пример 1: Найти функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для математического
маятника.
Происхождение принципа наименьшего действия из квантовой
механики
Физический смысл принципа наименьшего действия можно понять из оптико-
механической аналогии. Свет – электромагнитная волна, которая должна заполнять всё
пространство. Дойдя до любой точки пространства, в соответствии с принципом
Гюйгенса, волна порождает вторичную сферическую волну, исходящую из данной точки.
Но из за интерференции все эти волны гасят друг друга во всем пространстве, за
исключением узкого канала с шириной порядка половины длины волны, соединяющем
точки испускания и регистрации, называемого лучом. Вся энергия волны идет по этому
каналу. Каждая парциальная волна описывается фазой, и луч соответствует пути, на
котором накрутка фазы на пути от источника до точки регистрации минимальна(принцип
Ферма).
В соответствии с квантовой механикой, нерелятивистская частица описывается
уравнением Шредингера
2
2
(,)
(,) (,) (,)
2
rt
i rt Urt rt
tm
ψ
ψψ
∂
=− ∇ +
∂
r
h
r
rr
h
где
ψ
- комплексная функция, квадрат модуля которой равен плотности вероятности
найти частицу в данной точке пространства,
h - постоянная Планка, 1i =−- мнимая
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
