Математические основы теоретической физики. Серов В.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

15
единица,
2
∇ - оператор Лапласа,
222
2
222
x
zz
ψ
ψψ
ψ
∂
∂∂
∇= + +
∂
∂∂
,
(,)Urt
r
- потенциальная энергия.
Это уравнение имеет волновые решения.
Опять рассмотрим движение из точки 1 в точку 2. В отличии от классической механики,
где имеется единственная траектория, по которой частица переходит из 1 в 2, в квантовой
возможно движение по любой траектории, соединяющей 1 и 2. Каждой траектории [()]rt
r
(под квадратными скобками подразумевается упорядоченное множество значений) можно
сопоставить комплексную амплитуду вероятности ([ ( )])rt
ϕ
r
, которая связана с
классическим действием на этой траектории
2
1
([ ( )]) ( ( ), ( ), )
t
t
Srt Lrtrttdt=
∫
rrr
&
следующим образом:
([ ( )]) exp
{
([ ( )]) /
}
rt a iS rt
=
rr
h
Таким образом величина
([ ( )]) /Srt
r
h является фазой, аналогичной оптической фазе.
Вероятность перехода из точки 1 в точку 2 есть квадрат модуля суммы амплитуд
вероятности для различных траекторий
2
По всем траекториям
(1, 2) ([ ( )])Prt
ϕ
=
∑
r
Заметим, что в отличие, например, от броуновского движения, где частица также может
попасть из одной точки в другую по множеству траекторий, здесь суммируются именно
амплитуды вероятности, а не сами вероятности, так что альтернативы интерферируют, а
не суммируются.
Может показаться, что раз все члены в сумме имеют одинаковую вероятность
22
|([()])| ||rt a
ϕ
=
r
и отличаются только фазой, все траектории равноценны, что, очевидно,
находится в противоречии с тем, что для тяжелых частиц движение должно быть
классическим. Рассмотрим две близкие траектории
()rt
r
и
() ()rt rt
δ
+
r
r
. Поскольку
постоянная Планка
h очень маленькая, небольшое изменение траектории приводит к
большому изменению фазы. Экспонента от мнимого аргумента есть сумма косинуса и
синуса
exp( ) cos sinii
δ
δδ
=+
, процедура суммирования близких траекторий приводит к
взятию среднего от
cos и sin , которые равны нулю. Таким образом, на самом деле вклад
в сумму должны вносить только набор близких траектории, фазой не отличающихся
([ ( )]) ([ ( ) ( )]) ([ ( )]) 0Srt Srt rt Srt
δ
δ
=+− =
rrrr
т.е. лежащих вблизи траектории, для которой действие минимально, т.е. классической
траектории. Т.е., принцип наименьшего действия вытекает из квантовой механики.
Принцип симметрии
В данной главе, посвященной симметриям, мы даем основы теории групп, в рамках
которой интуитивное понятие симметрии приобретает строгий математический смысл, и с
помощью введенных понятий разбираемся в релятивистском и нерелятивистском

Страницы