Интегральное исчисление. Серяков В.М - 37 стр.

    Первым этапом решения задачи является построение области D, по
которой происходит вычисление двойного интеграла. Э т а о б л а с т ь
ограничена следующими линиями:
                                            .
                                       Уравнения линий             полу-
                    чены в соответствии с
                               пределами интегрирования в двукратном
                          интеграле (15). Построим графики этих
                          функций на плоскости (x, y). Уравнения трёх
                          линий являются уравнениями прямых у = 0,
                          х = —2, х = 2 . Четвертая линия у = √4 - х2
                          представляет уравнение окружности х2 + у2 =
                          4 с центром в начале координат и радиусом
                          R=2 (рис. 13).
                            Область D представляет собой полукруг,
                          лежащий выше оси х. Выполним правила
                          перехода к полярной системе координат ρ, φ.
                          Заменим в двойном интеграле
 Рис. 13

Тогда



    Вычислим двойной интеграл, сводя его к повторному по пе-
ременным ρ и φ. Во внутреннем интеграле интегрирование выполняют,
как правило, по ρ, во внешнем - по φ . В заданной области пределы
интегрирования будут следующие: ρ изменяется от 0 до 2, а φ - от 0 до π .
Таким образом,

                                  35