Интегральное исчисление. Серяков В.М - 39 стр.

    Тройные интегралы вычисляются путём сведения их к повторным. В
рассматриваемом случае область интегрирования является правильной, т.е.
прямые, параллельные осям координат, пересекают её границу не более
чем в двух точках, поэтому определить объём тела можно вычислением
повторных интегралов. Сначала выполняется интегрирование по одной
из переменных (обычно по z ) при условии, что оставшиеся переменные
принимают любые значения в области интегрирования. Далее проводится
интегрирование по второй переменной в предположении, что оставшаяся
переменная также принимает любые значения из области интегрирования.
Последним выполняется интегрирование по третьей переменной в
пределах её изменения.
                                     Из рис. 14 видно, что при движении
                                 по прямой, параллельной оси z , в
                                 направлении возрастания, вход в
                                 область интегрирования будет проис-
                                 ходить при z=0, а выход при z= х2 + у2.
                                 Эти значения будут нижним и верхним
                                 пределами интегрирования по пере-
                                 менной z. Чтобы определить пределы
                                 интегрирования по х и по у, удобно
                                 рассмотреть область D — их изменения
                                 на плоскости (х,у). Этой областью
              Рис. 15 является проекция тела на плоскость Оху (рис. 15).
    Выполняя второе интегрирование по переменной у, видим, что
нижний предел интегрирования у = 0, верхний у = 1—х. Наконец,
диапазон изменения переменной х в этой задаче от 0 до 1. Таким
образом, объём V тела, ограниченного указанными поверхностями,
равен