Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Шабров С.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В частности, для независимых событий
P (A · B) = P (A) · P (B),
т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий.
Условная вероятность события A
k
, определенная в предполо-
жении, что осуществились события A
1
, A
2
, . . . , A
k−1
обозначается
P
A
1
A
2
...A
k−1
(A
k
).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению
вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по
порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели
место:
P (A
1
A
2
. . . A
k
) = P (A
1
) · P
A
1
(A
2
) · P
A
1
A
2
(A
3
) · . . . · P
A
1
A
2
...·A
k−1
(A
k
),
В случае независимых событий справедлива формула
P (A
1
· A
2
· . . . · A
k
) = P (A
1
) · P (A
2
) · . . . · P (A
k
).
Пример 4. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике
8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова
вероятность, что один из вынутых шаров белый, а другой — черный.
Решение. Пусть
событие A — появление белого шара из первого ящика;
событие B — появление белого шара из второго ящика;
событие C — появление черного шара из первого ящика;
событие D — появление черного шара из второго ящика.
Заметим, что C = A и D = B. Имеем
P (A) =
1
5
, P ( B) =
2
3
,
P (C) = P (A) = 1 −
1
5
=
4
5
,
P (D) = P (B) = 1 −
2
3
=
1
3
.
Вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из вто-
рого ящика — черный равна
P (A · D) = P (A) · P (D) =
1
5
·
1
3
=
1
15
.
10
В частности, для независимых событий

                               P (A · B) = P (A) · P (B),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий.
   Условная вероятность события Ak , определенная в предполо-
жении, что осуществились события A1 , A2 , . . . , Ak−1 обозначается
PA1 A2 ...Ak−1 (Ak ).
   Вероятность произведения нескольких событий равна произведению
вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по
порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели
место:

   P (A1 A2 . . . Ak ) = P (A1 ) · PA1 (A2 ) · PA1 A2 (A3 ) · . . . · PA1 A2 ...·Ak−1 (Ak ),

В случае независимых событий справедлива формула

              P (A1 · A2 · . . . · Ak ) = P (A1 ) · P (A2 ) · . . . · P (Ak ).

Пример 4. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике
8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова
вероятность, что один из вынутых шаров белый, а другой — черный.
   Решение. Пусть
        событие    A     —   появление    белого шара из первого ящика;
        событие    B     —   появление    белого шара из второго ящика;
        событие    C     —   появление    черного шара из первого ящика;
        событие    D     —   появление    черного шара из второго ящика.

Заметим, что C = A и D = B. Имеем
                                     1          2
                             P (A) = , P (B) = ,
                                     5          3
                                                 1 4
                             P (C) = P (A) = 1 − = ,
                                                 5 5
                                                  2 1
                             P (D) = P (B) = 1 − = .
                                                  3 3
Вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из вто-
рого ящика — черный равна
                                                          1 1 1
                     P (A · D) = P (A) · P (D) =           · = .
                                                          5 3 15
                                              10

Страницы