Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Шабров С.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

гипотез на соответствующую условную вероятность события A:
P (A) =
n
X
k=1
P (B
k
) · P
B
k
(A), (1)
где
n
X
k=1
P (B
k
) = 1. Равенство (1) называют формулой полной вероятно-
сти.
Пример 5. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после
чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что
извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные
предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через A событие — извлечен белый шар. Возмож-
ны следующие варианты (гипотезы) первоначального состава шаров: B
1
— белых шаров нет, B
2
— один белый шар, B
3
— два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равно-
вероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (как образующих
полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло-
вии, что первоначально в урне не было белых шаров, P
B
1
(A) =
1
3
.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло-
вии, что первоначально в урне был одни белый шар, P
B
2
(A) =
2
3
.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло-
вии, что первоначально в урне было два белых шара, P
B
3
(A) =
3
3
= 1.
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим
по формуле полной вероятности:
P (A) =
3
X
k=1
P (B
k
)P
B
k
(A) =
1
3
·
1
3
+
1
3
·
2
3
+
1
3
·
3
3
=
2
3
.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция пер-
вого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго — 5 % и
третьего — 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, ес-
ли в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % — со
второго и 20 % — с третьего?
3.2. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент под-
брасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме
13
гипотез на соответствующую условную вероятность события A:
                              n
                              X
                      P (A) =   P (Bk ) · PBk (A),                    (1)
                                       k=1
      n
      X
где         P (Bk ) = 1. Равенство (1) называют формулой полной вероятно-
      k=1
сти.
   Пример 5. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после
чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что
извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные
предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
   Решение. Обозначим через A событие — извлечен белый шар. Возмож-
ны следующие варианты (гипотезы) первоначального состава шаров: B1
— белых шаров нет, B2 — один белый шар, B3 — два белых шара.
   Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равно-
вероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (как образующих
полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3.
   Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло-
                                                              1
вии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1 (A) = .
                                                              3
   Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло-
                                                             2
вии, что первоначально в урне был одни белый шар, PB2 (A) = .
                                                             3
   Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло-
                                                              3
вии, что первоначально в урне было два белых шара, PB3 (A) = = 1.
                                                              3
   Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим
по формуле полной вероятности:
                        3
                        X                         1 1 1 2 1 3 2
              P (A) =         P (Bk )PBk (A) =     · + · + · = .
                                                  3 3 3 3 3 3 3
                        k=1


Задачи для самостоятельного решения

   3.1. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция пер-
вого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго — 5 % и
третьего — 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, ес-
ли в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % — со
второго и 20 % — с третьего?
   3.2. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент под-
брасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме

                                             13

Страницы