Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Шабров С.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

шейх помилует звездочёта, в противном случае — казнит. Как звездо-
чёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие
шансы спастись?
4. Повторные испытания. Формула Бернулли
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность
того, что событие A появится в этих n испытаниях k раз, выражается
формулой Бернулли
P
k,n
(A) = C
k
n
p
k
q
n−k
,
где q = 1 − p.
Пример 7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что
вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести
(ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Пусть A — партия выиграна. Играют равносильные шах-
матисты, поэтому вероятность выигрыша p =
1
2
; следовательно, вероят-
ность проигрыша q = 1 − p =
1
2
. Так как во всех партиях вероятность
выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут
выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
P
2,4
(A) = C
2
4
p
2
q
4
=
4 · 3
1 · 2
µ
1
2
2
µ
1
2
2
=
3
8
.
Вероятность того, что будут выиграны три партии из шести, равна
P
3,6
(A) = C
3
6
p
3
q
3
=
6 · 5 · 4
1 · 2 · 3
µ
1
2
3
µ
1
2
3
=
5
16
.
Так как P
2,4
(A) > P
3,6
(A), то вероятнее выиграть две партии из четырех,
чем три из шести.
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероят-
нее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б)
выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из
пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
19
шейх помилует звездочёта, в противном случае — казнит. Как звездо-
чёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие
шансы спастись?


4.     Повторные испытания. Формула Бернулли
   Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность
того, что событие A появится в этих n испытаниях k раз, выражается
формулой Бернулли
                         Pk,n (A) = Cnk pk q n−k ,
где q = 1 − p.
   Пример 7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что
вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести
(ничьи во внимание не принимаются)?
   Решение. Пусть A — партия выиграна. Играют равносильные шах-
                                              1
матисты, поэтому вероятность выигрыша p = ; следовательно, вероят-
                                              2
                                1
ность проигрыша q = 1 − p = . Так как во всех партиях вероятность
                                2
выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут
выиграны партии, то применима формула Бернулли.
   Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
                                       µ ¶2 µ ¶2
                           2 2 4   4·3 1       1     3
               P2,4 (A) = C4 p q =                = .
                                   1·2 2       2     8
     Вероятность того, что будут выиграны три партии из шести, равна
                                        µ ¶3 µ ¶3
                           3 3 3  6·5·4 1       1     5
              P3,6 (A) = C6 p q =                  = .
                                  1·2·3 2       2     16
Так как P2,4 (A) > P3,6 (A), то вероятнее выиграть две партии из четырех,
чем три из шести.

Задачи для самостоятельного решения

   4.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероят-
нее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б)
выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из
пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

                                   19

Страницы