Эконометрика. Шанченко Н.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

70
6. Линейные модели стохастических процессов
6.1. Стационарные стохастические процессы
Уровни временного ряда х
1
, х
2
, ..., х
n
при наличии случайной составляю-
щей могут рассматриваться как проявления случайных величин X
1
, Х
2
,..., Х
n
,
соответствующих моментам времени t
1
, t
2
, ..., t
n
, т. е. как отдельная реализация
дискретного стохастического процесса.
Cтохастическим процессом называется случайная функция X(t) вещест-
венного аргумента t. Иными словами, если каждому значению аргумента t из
некоторого множества Ť действительных чисел поставлена в соответствие слу-
чайная величина X
t
= X(t), то совокупность случайных величин {X
t
} представ-
ляет собой стохастический процесс.
Если множество определения Ť случайной функции X(t) дискретно, т. е.
Ť = {t
i
}, то стохастический процесс называется дискретным.
Дискретный стохастический процесс представляет собой последовательность
случайных величин X
t
, соответствующих моментам времени t
1
, t
2
, ..., t
T
, ...
.
Стохастический процесс называется стационарным процессом в широком
(слабом) смысле, если математическое ожидание μ
t
и дисперсия σ
2
t
не зависят
от времени (одинаковы для всех X
t
), а автоковариация
21
tt
зависит только от ве-
личины лага τ = t
2
–t
1
, т. е.
μ
t
= μ =const;
σ
2
t
= σ
2
= const; (6.1)
)()])([(),cov(
112121
tttttt
XXEXX .
«Белым шумом» называется последовательность независимых, одинаково
распределенных случайных величин a
t
. Из определения «белого шума» следует, что
μ
t
= const = μ; D
t
= σ
2
t
= const = σ
2
; 0
21
tt
, если t
1
≠ t
2
. (6.2)
«Белый шум» является стационарным стохастическим процессом и играет
важную роль при моделировании остатков стохастического процесса в уравне-
ниях регрессии.
Зависимость автоковариации γ
τ
= γ(τ) от длины лага τ называется автокова-
риационной функцией. При τ = 0 ее значение равно дисперсии, т. е. γ
0
= γ(τ)
= σ
2
.
Отношение автоковариации γ
τ
= γ(τ) к дисперсии σ
2
= γ
0
называется авто-
корреляционной функций стационарного стохастического процесса:
,
0
τ
τ
(6.3)
причем
11
τ
.
Стационарному стохастическому процессу Х
t
соответствует стационарный
временной ряд x
l
, х
2
, ..., х
n
.
Признаками стационарности временного ряда являются отсутствие тен-
денции и периодической составляющей, а также систематических изменений
размаха колебаний и систематически изменяющихся взаимозависимостей меж-
ду элементами временного ряда.

Страницы