Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

21
5. Производная Фреше
Определение. Отображение f: X → Y, X и Y − нормированные
пространства, называется дифференцируемым по Фреше в точке
x
ˆ
,
пишется
)
ˆ
(xDf ∈ , если существует линейный непрерывный оператор
YXxf →
′
:)
ˆ
( и отображение r : X → Y, для которых
)(])[
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
( hrhxfxfhxf
+
′
+
=
+
, (1)
где
(
)
XY
hohr =)( при 0→
X
h . Оператор )
ˆ
(xf
′
называется
производной Фреше. Равенство (1) кратко можно записать так:
)(])[
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
( hohxfxfhxf
+
′
=
−
+ .
При нахождении производной Фреше часто используется теорема о
суперпозиции, которая нам потребуется в следующем виде:
Теорема. Пусть X, Y, Z − нормированные пространства,
ϕ
: X →
Y
,
ψ
:Y → Z, yx
ˆ
)
ˆ
( =
ϕ
, ZXf →
=
:
ϕ
ψ
o − суперпозиция
отображений
ϕ
и
ψ
. Тогда, если )
ˆ
(xD
∈
ϕ
, )
ˆ
( yD
∈
ψ
, то )
ˆ
(xDf
∈
и
[
]
])[
ˆ
()
ˆ
(])[
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
( hxyhxfxyxf
ϕ
ψ
ϕ
ψ
′
′
′
⇔
′′
=
′
o .
Пример 1. f: H → R, f(x) = xx, , H − гильбертово пространство.
f(x + h) − f(x) = hxhx ++ , − xx, = 2 hx, + hh, =
=
2
hx,
+ o(h).
Так как
2 hx, линейно, то hxhxf ,
ˆ
2])[
ˆ
( =
′
.
Пример 2. f: H → R, f(x) = xxx ,= .
))(()( xxf
ϕ
ψ
o=
, где yxxx
ˆˆ
,
ˆ
)
ˆ
( ==
ϕ
, yy
ˆ
)
ˆ
( =
ψ
hxx ,
ˆ
2)
ˆ
( =
′
ϕ
(Пример 1),
⇒==
′
xyy
ˆ
21
ˆ
21)
ˆ
(
ψ
0
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
])[
ˆ
( ≠=
′
xxhxhxf
.
Пример 3. f: H → H, f(x) = xx
f(x + h)
− f(x) = (x + h) −+ hx xx = (x + h) ( −+ hx x )
+ ((x + h) − x)
x
. 
       5. Производная Фреше
       Определение. Отображение f: X → Y, X и Y − нормированные
пространства, называется дифференцируемым по Фреше в точке x̂ ,
пишется f ∈ D(xˆ ) , если существует линейный непрерывный оператор
 f ′( xˆ ) : X → Y и отображение r : X → Y, для которых
                  f ( xˆ + h ) = f ( xˆ ) + f ′( xˆ )[h ] + r ( h ) , (1)
где r ( h ) Y = o ( h X ) при h X → 0 . Оператор f ′(xˆ ) называется
производной Фреше. Равенство (1) кратко можно записать так:
                f ( xˆ + h ) − f ( xˆ ) = f ′( xˆ )[h ] + o( h ) .
      При нахождении производной Фреше часто используется теорема о
суперпозиции, которая нам потребуется в следующем виде:

          Теорема. Пусть X, Y, Z − нормированные пространства, ϕ : X →
Y, ψ :Y → Z, ϕ ( xˆ ) = yˆ , f = ψ o ϕ : X → Z − суперпозиция
отображений ϕ и ψ. Тогда, если ϕ ∈ D (xˆ ) , ψ ∈ D( yˆ ) , то f ∈ D (xˆ ) и
 f ′( xˆ ) = ψ ′( yˆ ) o ϕ ′( xˆ ) ⇔ f ′( xˆ )[h ] = ψ ′( yˆ )[ϕ ′( xˆ )[h ]] .

       Пример 1. f: H → R, f(x) = x, x , H − гильбертово пространство.
       f(x + h) − f(x) = x + h, x + h − x, x = 2 x, h + h, h =
       =2 x, h + o(h).
         Так как 2 x, h линейно, то f ′( xˆ )[h ] = 2 xˆ , h .

       Пример 2. f: H → R, f(x) = x =                   x, x .
        f ( x ) = (ψ o ϕ )( x ) , где ϕ ( xˆ ) = xˆ , xˆ = yˆ , ψ ( yˆ ) =   yˆ
       ϕ ′( xˆ ) = 2 xˆ , h   (Пример 1),

       ψ ′( yˆ ) = 1 2 yˆ = 1 2 xˆ ⇒ f ′( xˆ )[h ] = xˆ , h           xˆ , xˆ ≠ 0 .

       Пример 3. f: H → H, f(x) = x x
       f(x + h) − f(x) = (x + h) x + h − x x = (x + h) ( x + h − x )
+ ((x + h) − x) x .


                                            21

Страницы