Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 23 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

23
2
1
0
))(
ˆ
(3))(
ˆ
(
=
dttxxf
1
0
)( dtth , так как
+
1
0
)()(( dtthtx
∫∫
=
1
0
1
0
)()( dtthdttx
.
Пример 7. RCf ]1,0[:)1()0())(( xxxf
=
.
=
+
+
=
+ )1()0())1()1(())0()0(()()( xxhxhxxfhxf
)()1()0()0()1( hohxhx
+
+= .
)1()0(
ˆ
)0()1(
ˆ
])[
ˆ
( hxhxhxf
+
=
.
6. Простейшая задача вариационного исчисления
Постановка задачи. Простейшей задачей вариационного исчис-
ления называется экстремальная задача в
C
1
[t
0
, t
1
] (в пространстве дейст-
вительных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
[t
0
, t
1
]):
=
1
0
))(),(,())((
t
t
extrdttxtxtLxJ
&
;
1100
)(,)( xtxxtx =
=
(P)
Функции, принадлежащие
C
1
[t
0
, t
1
] и удовлетворяющие условиям
на концах, называются допустимыми,
)(PDx
.
Определение. )(
ˆ
PDx доставляет локальный минимум в задаче
(P), Plocx min
ˆ
, если :0>
ε
)(PDx
, таких что
ε
<
1
ˆ
xx
выполняется ))(
ˆ
())((
xJxJ . Здесь
1
норма в ],[
10
1
ttC , то есть
=
1
)(tx
{}
)(,)(max
],[
10
txtx
ttt
=
. Аналогично определяется локальный
максимум.
Необходимые условия экстремума. Пусть Pextrlocx
ˆ
,
функции
xx
LLL
&
,, непрерывны как функции трёх переменных,
],[
ˆ
10
1
ttCL
x
&
(
x
L
&
ˆ
означает, что функция берётся в точке
)(
ˆ
tx
). Тогда
                                  1      1                      1
       ⇒ f ′( xˆ (⋅)) = 3( ∫ xˆ (t )dt ) 2 ∫ h(t ) dt , так как ∫ ( x (t ) + h(t ) dt −
                                  0      0                      0
          1                   1
       − ∫ x (t ) dt = ∫ h (t ) dt .
          0                   0

       Пример 7. f : C[0, 1] → R f ( x (⋅)) = x (0) x (1) .
       f ( x + h ) − f ( x ) = ( x (0) + h(0)) ⋅ ( x (1) + h(1)) − x(0) x (1) =
       = x (1) h(0) + x (0) h(1) + o( h ) .
       f ′( xˆ )[h ] = xˆ (1) h(0) + xˆ (0) h(1) .

       6. Простейшая задача вариационного исчисления
      Постановка задачи. Простейшей задачей вариационного исчис-
                                         1
ления называется экстремальная задача в C [t0, t1] (в пространстве дейст-
вительных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [t0, t1]):
                         t1

       J ( x (⋅)) = ∫ L(t , x (t ), x& (t )) dt → extr ; x (t0 ) = x0 , x (t1 ) = x1
                         t0

         (P)
                                         1
      Функции, принадлежащие C [t0, t1] и удовлетворяющие условиям
на концах, называются допустимыми, x ∈ D (P ) .

       Определение. xˆ ∈ D ( P ) доставляет локальный минимум в задаче
(P), xˆ ∈ loc min P , если ∃ε > 0 : ∀ x ∈ D (P ) , таких что x − x̂ 1 < ε
выполняется J ( x (⋅)) ≥ J ( xˆ (⋅)) . Здесь ⋅ 1 − норма в C [t0 , t1 ] , то есть
                                                                    1


 x (t ) 1 = = max { x (t ) , x ′(t ) }. Аналогично определяется локальный
               t∈[ t0 ,t1 ]
максимум.
       Необходимые условия экстремума. Пусть xˆ ∈ loc extr P ,
функции L, Lx , Lx& − непрерывны как функции трёх переменных,
Lˆ x& ∈ C 1 [t0 , t1 ] ( Lˆ x& означает, что функция берётся в точке xˆ (t ) ). Тогда




                                             23