ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
⇒
2
1
0
))(
ˆ
(3))(
ˆ
(
∫
=⋅
′
dttxxf
∫
1
0
)( dtth , так как
∫
−+
1
0
)()(( dtthtx
∫∫
=−
1
0
1
0
)()( dtthdttx
.
Пример 7. RCf →]1,0[:)1()0())(( xxxf
=
⋅
.
=
−
+
⋅
+
=
−+ )1()0())1()1(())0()0(()()( xxhxhxxfhxf
)()1()0()0()1( hohxhx
+
+= .
)1()0(
ˆ
)0()1(
ˆ
])[
ˆ
( hxhxhxf
+
=
′
.
6. Простейшая задача вариационного исчисления
Постановка задачи. Простейшей задачей вариационного исчис-
ления называется экстремальная задача в
C
1
[t
0
, t
1
] (в пространстве дейст-
вительных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
[t
0
, t
1
]):
∫
→=⋅
1
0
))(),(,())((
t
t
extrdttxtxtLxJ
&
;
1100
)(,)( xtxxtx =
=
(P)
Функции, принадлежащие
C
1
[t
0
, t
1
] и удовлетворяющие условиям
на концах, называются допустимыми,
)(PDx
∈
.
Определение. )(
ˆ
PDx ∈ доставляет локальный минимум в задаче
(P), Plocx min
ˆ
∈ , если :0>
∃
ε
∀ )(PDx
∈
, таких что
ε
<−
1
ˆ
xx
выполняется ))(
ˆ
())((
⋅
≥⋅ xJxJ . Здесь
1
⋅ − норма в ],[
10
1
ttC , то есть
=
1
)(tx
{}
)(,)(max
],[
10
txtx
ttt
′
=
∈
. Аналогично определяется локальный
максимум.
Необходимые условия экстремума. Пусть Pextrlocx
∈
ˆ
,
функции
xx
LLL
&
,, − непрерывны как функции трёх переменных,
],[
ˆ
10
1
ttCL
x
∈
&
(
x
L
&
ˆ
означает, что функция берётся в точке
)(
ˆ
tx
). Тогда
1 1 1 ⇒ f ′( xˆ (⋅)) = 3( ∫ xˆ (t )dt ) 2 ∫ h(t ) dt , так как ∫ ( x (t ) + h(t ) dt − 0 0 0 1 1 − ∫ x (t ) dt = ∫ h (t ) dt . 0 0 Пример 7. f : C[0, 1] → R f ( x (⋅)) = x (0) x (1) . f ( x + h ) − f ( x ) = ( x (0) + h(0)) ⋅ ( x (1) + h(1)) − x(0) x (1) = = x (1) h(0) + x (0) h(1) + o( h ) . f ′( xˆ )[h ] = xˆ (1) h(0) + xˆ (0) h(1) . 6. Простейшая задача вариационного исчисления Постановка задачи. Простейшей задачей вариационного исчис- 1 ления называется экстремальная задача в C [t0, t1] (в пространстве дейст- вительных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [t0, t1]): t1 J ( x (⋅)) = ∫ L(t , x (t ), x& (t )) dt → extr ; x (t0 ) = x0 , x (t1 ) = x1 t0 (P) 1 Функции, принадлежащие C [t0, t1] и удовлетворяющие условиям на концах, называются допустимыми, x ∈ D (P ) . Определение. xˆ ∈ D ( P ) доставляет локальный минимум в задаче (P), xˆ ∈ loc min P , если ∃ε > 0 : ∀ x ∈ D (P ) , таких что x − x̂ 1 < ε выполняется J ( x (⋅)) ≥ J ( xˆ (⋅)) . Здесь ⋅ 1 − норма в C [t0 , t1 ] , то есть 1 x (t ) 1 = = max { x (t ) , x ′(t ) }. Аналогично определяется локальный t∈[ t0 ,t1 ] максимум. Необходимые условия экстремума. Пусть xˆ ∈ loc extr P , функции L, Lx , Lx& − непрерывны как функции трёх переменных, Lˆ x& ∈ C 1 [t0 , t1 ] ( Lˆ x& означает, что функция берётся в точке xˆ (t ) ). Тогда 23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »