Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

22
Применяя результат примера 2, получаем
hx
x
hx
xxf ⋅+=
′
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
)
ˆ
( .
Пример 4.
22
: RRf → , ),(),(
2
2
2
12121
xxxxxxf += ,
)2,1(
ˆ
=x
,
=
−+ )
ˆ
()
ˆ
( xfhxf (
))((
2211
hxhx
+
+
)(
2
22
2
11
)()( hxhx +++ )−
=+− ),(
2
2
2
121
xxxx (
))((
2211
hxhx
+
+
21
xx
−
,
2
22
2
11
)()( hxhx +++=+− ))(
2
2
2
1
xx
= ⇒
+
+
++ ))(22),((
22111221
hohxhxhohxhx
⇒ )42,2(]2,1)[
ˆ
(
2121
hhhhxf
+
+
=
′
.
2
й
способ. )),(),,(()(
21221121
xxfxxfxxf
=
,
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
′
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
21
)
ˆ
()
ˆ
(
)
ˆ
()
ˆ
(
])[,(
h
h
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
hxxf
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
21
12
ˆ
2
ˆ
2
ˆˆ
h
h
xx
xx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
21
21
2
1
42
2
42
12
hh
hh
h
h
.
Пример 5. RCf →]1,0[: ,
∫
=⋅
1
0
3
)())(( dttxxf
.
=
−+ )()( xfhxf
∫
−+
1
0
3
))()(( dtthtx
∫
=
1
0
3
)( dttx
=
∫
⇒+
1
0
2
))(()()(3 thodtthtx
∫
=
′
1
0
2
)()(
ˆ
3])[
ˆ
( dtthtxhxf
.
Пример 6. RCf →]1,0[: ,
3
1
0
))(())((
∫
=⋅ dttxxf
.
⇒
=
′
= ]])[
ˆ
()[
ˆ
()
ˆ
()),()(()( hxyxftxxf
ϕ
ψ
ϕ
ψ
o 
       Применяя результат примера 2, получаем
                         xˆ , h
        f ′( xˆ ) = xˆ          + xˆ ⋅ h .
                            xˆ

       Пример 4. f : R 2 → R 2 , f ( x1 , x2 ) = ( x1 x 2 , x12 + x22 ) ,
xˆ = (1, 2) ,
        f ( xˆ + h ) − f ( xˆ ) = ( ( x1 + h1 )( x 2 + h2 ) )(
( x1 + h1 ) 2 + ( x 2 + h2 ) 2 )−
       − ( x1 x 2 , x12 + x 22 ) = ( ( x1 + h1 )( x 2 + h2 ) − x1 x 2 ,
       ( x1 + h1 ) 2 + ( x 2 + h2 ) 2 − ( x12 + x 22 )) =
       = ( x1h2 + x 2 h1 + o( h ), 2 x1h1 + 2 x 2 h2 + o( h )) ⇒
       ⇒ f ′( xˆ )[1, 2] = ( 2h1 + h2 , 2h1 + 4h2 ) .
       2й способ. f ( x1 x 2 ) = ( f1 ( x1 , x 2 ), f 2 ( x1 , x 2 )) ,
                              ⎛ ∂f1 ˆ
                                   ∂f1           ⎞
                              ⎜     ( x)  ( xˆ ) ⎟
                              ⎜ ∂x1∂x 2          ⎟⎛⎜ h1 ⎞⎟ =              ⎛ xˆ 2      xˆ1 ⎞⎛ h1 ⎞
        f ′( x1 , x 2 )[h ] =                                             ⎜⎜                 ⎟⎜ ⎟ =
                              ⎜ ∂f 2 ˆ
                                   ∂f 2          ⎟⎜ ⎟                      ⎝ 2 xˆ1   2 xˆ 2 ⎟⎠⎜⎝ h2 ⎟⎠
                              ⎜ ∂x ( x )  ( xˆ ) ⎟⎝ h2 ⎠
                              ⎝ 1  ∂x 2          ⎠
           ⎛ 2 1 ⎞⎛ h1 ⎞ ⎛ 2h1 + h2 ⎞
        = ⎜⎜     ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜        ⎟⎟ .
           ⎝ 2 4 ⎠⎝ h2 ⎠ ⎝ 2h1 + 4h2 ⎠
                                                              1
       Пример 5. f : C[0, 1] → R , f ( x (⋅)) =               ∫x
                                                                      3
                                                                          (t )dt .
                                                              0
                                   1                              1
        f ( x + h ) − f ( x ) = ∫ ( x (t ) + h (t )) dt −
                                                      3
                                                               ∫x
                                                                          3
                                                                              (t )dt =
                                   0                              0
          1                                                               1
       = ∫ 3x 2 (t ) h(t ) dt + o( h(t )) ⇒ f ′( xˆ )[h ] = 3∫ xˆ 2 (t ) h (t ) dt .
          0                                                               0

                                                                  1
       Пример 6. f : C[0, 1] → R , f ( x (⋅)) = ( x (t )dt ) 3 .  ∫
                                                                  0
        f ( x ) = (ψ o ϕ )( x (t )), f ′( xˆ ) = ψ ( yˆ )[ϕ ( xˆ )[h ]] ⇒
                                             22

Страницы