Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 24 стр.

                                                    d ˆ
x̂ удовлетворяет уравнению Эйлера −                    Lx& (t ) + Lˆ x (t ) = 0 ,
                                                    dt
∀t ∈ [t0 , t1 ] .
      Функции, удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются экс-
тремалями.
      Если L = L(t , x1 , K , x n , x&1 , K , x& n ) − функция 2n + 1 перемен-
ных, причём xi (t ) ∈ C [t0 , t1 ], i = 1, n , то необходимые условия экстре-
                                1

мума в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений Эйле-
ра:
                            d ˆ
                        −     Lx& (t ) + Lˆ xi (t ) = 0, i = 1, n .
                            dt i
      Правило решения. Пишем уравнение Эйлера (или систему урав-
нений). Находим общее решение с произвольными константами, которые
находим из конечных условий. Проверяем из определения, доставляют ли
экстремали решение задачи P или нет. При этом полезно помнить, что
функции xˆ + h и x̂ имеют на концах одинаковые значения, что возможно
лишь, если функция h на концах имеет значения 0.
      Подпространство функций, принимающих в концах отрезка [t0, t1]
                                         1
значение 0, обозначается C0 [t0 , t1 ] . Таким образом, в простейшей задаче
всегда h ∈ C0 [t0 , t1 ] .
                    1

                                     1

                                     ∫
        Пример 1. J ( x ) = ( x − x& 2 ) dt → extr , x(0) = x(1) = 0.
                                     0

                                    d
        Уравнение Эйлера −             Lx& + Lx = 0 .
                                    dt
        Lx& = −2 x& ,        Lx = 1 ⇒ 2 &x& + 1 = 0 ⇒ &x& = − 1 2 ⇒
        ⇒ x& = − 1 t + C1 ⇒ x = − t 2 4 + C1t + C2 .
                      2
        x(0) = 0 ⇒ C2 = 0, x(1) = 0 ⇒
        ⇒ C1 = 1 4 ⇒ xˆ = − t 2 4 + 1 4 t = t 4 (1 − t ) .
        h ∈ C1[t0, t1].
                                     1                                1
ΔJ = J ( xˆ + h ) − J ( xˆ ) = ∫ ( xˆ + h ) − ( x&ˆ + h& ) 2 dt − ∫ ( xˆ − x&ˆ ) 2 dt =
                                     0                                0



                                               24