Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 25 стр.

            1                1             1                     1            1
      = ∫ h dt − 2 ∫ xˆ&h& dt − ∫ h& 2 dt ≤ ∫ h dt − 2 ∫ xˆ&h& dt .
            0                0             0                     0            0
       1                 1                             1                      1

       ∫ x&ˆh& dt > ∫ xˆ& dh = x&ˆh | − ∫ h&xˆ& dt = 1 2 ∫ h dt .
                                               1
                                               0
       0                 0                             0                      0
      Последнее равенство следует из того, что h(0) = h(1) = 0 и
        &xˆ& = (t 4 (1 − t ))′′ = − 1 2 .
                                  1            1
      Поэтому ΔJ ≤                ∫ h dt − ∫ h dt = 0 ⇒ xˆ ∈ abs max .
                                  0            0

                                      32

      Пример 2. J ( x ) =             ∫ ( x&           + 2 x )dt → extr , x(0) = 0, x(3/2) = 1.
                                                   3

                                      0

                                d                       d
      Уравнение Эйлера −            (3x& 2 ) + 2 = 0 ⇒ (3x& 2 ) = 2 ⇒
                                dt                      dt
        ⇒ 3x& = 2t + C ⇒ x& = 2 3 ⋅ t + C ⇒ x& = ±( 2 3 ⋅ t + C )1 2 ⇒
                2                 2


        ⇒ x (t ) = ± ( 2 3 ⋅ t + C ) 3 2 + C1 , x (0) = 0 ⇒ ±C 3 2 + C1 = 0 ,
         x (3 2) = 1 ⇒ ± (1 + C ) 3 2 + C1 = 1 .
        Из системы двух последних уравнений следует, что C = C1 =0. От-
сюда экстремаль xˆ = ( 2 3 ⋅ t ) (С минусом не удовлетворяет условию
                                  32


 xˆ (3 2) = 1 ).
                                                       32

       ΔJ = J ( xˆ + h ) − J ( xˆ ) =                  ∫ (3xˆ& h& + 3x&ˆh&            + h& 3 + 2h ) dt ,
                                                                     2            2

                                                        0

       h ∈ C [0, 3 2] .
                 1
                 0
           32                    32                                      32

       3 ∫ x&ˆ 2 h& dt = 3 ∫ x&ˆ 2 dh = 3x& 2 h |30 2 −3 ∫ h ⋅ 2 xˆ& &xˆ& dt =
           0                     0                                       0
                3/ 2                                                          32
                                         1
       = −6 ∫          h ⋅ 2 / 3⋅ t ⋅            dt = −2 ∫ h dt .
                 0                    3 2 / 3⋅ t         0




                                                            25