Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

27
общее решение
tshCtchCx
21
+
=
;
б) условия трансверсальности
⇒
−
=
=
)1()0(
)1(,)0(
xxxx
lLlL
&&
.1)1(,0)0(12)1(2,0)0( shxxshxx
=
=
⇒
=
=⇒
&&&&
.0)0(
2221
=
⇒
=
⇒+
=
CCxtchCtshCx
&&
tshxCshshCx
=
⇒
=
⇒==
ˆ
111)1(
11
&
− экстремаль.
∫
−+++=−+=Δ
1
0
22
1)1(2)
ˆ
2
ˆ
2()
ˆ
()
ˆ
( shhdthhxhhxxBhxBB
&&
&
.
∫∫ ∫ ∫
−⋅=−==
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
ˆ
2)1(12
ˆ
2|
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2 dthxhshdthxhxdhxdthx
&&&
&
&
.
Здесь пользуемся тем, что 00)0(
ˆ
== shx
&
и xx
ˆˆ
=
&&
.
Подставляем в
ΔB:
∫
=⋅−++++⋅=Δ
1
0
22
)1(12)
ˆ
2
ˆ
2()1(12 hshdthhxhhxhshB
&
∫
∈⇒≥+=
1
0
22
min
ˆ
0)( absxdthh
&
. Легко видеть, что
∞
=
max
S .
Пример 2.
∫
→+−+−=⋅
2/
0
2222
)2/(4)2/()0()())((
π
ππ
extrxxxdtxxxB
&
,
а) уравнение Эйлера
002)2( =+⇒=−− xxxx
dt
d
&&&
;
общее решение
xCxCx cossin
21
+
= , xCxCx sincos
21
−
=
&
;
б) условия трансверсальности
⇒
−
=
=
)2/()0(
)2/(,)0(
π
π
xxxx
lLlL
&&
,4)2/(2)2/(2),0()0(
21
CCxxxx
=
⇒
−
=
=⇒
π
π
&&
ttxCCCC cossin
ˆ
12
2112
+
=
⇒
=
=
⇒−=− − экстремаль.
∫
−++−−+=Δ
2/
0
222
)0()0()0(2)22(
π
hhxdthxhhhxB
&&
&
)2(4)2()2()2(2
2
ππππ
hhhx +−− . 
        общее решение x = C1ch t + C 2 sh t ;
        б) условия трансверсальности Lx& (0) = l x ( 0 ) , Lx& (1) = −l x (1) ⇒
        ⇒ x& (0) = 0, 2 x& (1) = 2 sh1 ⇒ x& (0) = 0, x& (1) = sh1.
        x& = C1 sh t + C2 ch t ⇒ x& (0) = C 2 ⇒ C2 = 0.
        x& (1) = C1 sh1 = sh1 ⇒ C1 = 1 ⇒ xˆ = sh t − экстремаль.
                                                  1
        ΔB = B( xˆ + h) − B( xˆ ) = ∫ (2 x&ˆh& + h& 2 + 2 xˆh + h 2 ) dt − 2h(1) sh1 .
                                                  0
          1                     1                          1                       1
        2 ∫ xˆ&h& dt = 2 ∫ xˆ& dh = 2 xˆh |10 −2 ∫ &xˆ&h dt = 2 sh1 ⋅ h(1) − 2 ∫ xˆh dt .
          0                     0                          0                       0

        Здесь пользуемся тем, что xˆ& (0) = sh 0 = 0 и &xˆ& = xˆ .
        Подставляем в ΔB:
                                    1
ΔB = 2 sh1 ⋅ h (1) + ∫ ( 2 xˆh + h& 2 + 2 xˆh + h 2 )dt − 2 sh1 ⋅ h (1) =
                                    0
   1
= ∫ ( h& 2 + h 2 )dt ≥ 0 ⇒ xˆ ∈ abs min . Легко видеть, что S max = ∞ .
   0

        Пример 2.
              π /2
B( x (⋅)) =    ∫ ( x&         − x 2 )dt + x 2 (0) − x 2 (π / 2) + 4 x (π / 2) → extr ,
                          2

               0

                             d
        а) уравнение Эйлера                 −
                                ( 2 x& ) − 2 x = 0 ⇒ &x& + x = 0 ;
                             dt
        общее решение x = C1 sin x + C 2 cos x , x& = C1 cos x − C 2 sin x ;
        б) условия трансверсальности
Lx& (0) = l x ( 0 ) , Lx& (π / 2) = −l x (π / 2 ) ⇒
        ⇒ x& (0) = x (0), 2 x& (π / 2) = 2 x (π / 2) − 4 ⇒ C1 = C 2 ,
        − C2 = C1 − 2 ⇒ C1 = C2 = 1 ⇒ xˆ = sint + cost − экстремаль.
                   π /2
        ΔB =         ∫ (2 x&h& + h&         − 2 xh − h 2 )dt + 2 x (0)h (0) + h 2 (0) −
                                        2

                     0

        − 2 x (π 2)h(π 2) − h 2 (π 2) + 4h(π 2) .
                                                      27

Страницы