Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

28
∫∫∫
−−=−==
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
|)sin(cos2
ˆ
2|
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
π
ππ
π
htthxhxdhxdthx
&&&&
&
&
∫∫
+−−=−
2
0
2
0
ˆ
2)0(2)2(2
ˆ
2
π
π
dthxhhdthx
&&
(т.к. 0
ˆˆ
=+ xx
&&
).
∫∫ ∫
−−++−−=Δ
2
0
2
0
2
0
2
ˆ
2
ˆ
2)0(2)2(2
ππ π
π
dthxdthdthxhhB
&
∫
=+−−++−
2
0
222
)2(4)2()2(2)0()0(2
π
πππ
hhhhhdth
∫∫
−+−=
2
0
2
0
2222
)2()0(
ππ
π
hhdthdth
&
.
Если
h ≡ ε, то ΔB = −
π
/2⋅
ε
2
< 0, если
⎩
⎨
⎧
≤≤
≤≤−
=
210
10),1(
π
ε
t
tt
h
, то 002
222
>−+−=Δ
εεε
B . Таким
образом,
extrlocx ∉
ˆ
.
8. Задача с подвижными концами.
Постановка задачи. Задачей с подвижными концами называется
экстремальная задача в
)(
1
ΔC :
∫
→+=
1
0
))(,),(,(),,()(
11000
t
t
extrtxttxtdtxxtfI
ψξ
&
(P)
mitxttxt
i
,1,0))(,),(,(
1100
==
ψ
, (1)
где
),),((
10
ttx ⋅=
ξ
, Δ − конечный отрезок,
1010
,, tttt
<
Δ
∈
.
Частные случаи задачи, когда один конец или оба конца закреплены.
Элемент
ξ
− называется допустимым, если )(
1
Δ∈Cx , и выпол-
няются условия (1).
Определение. Plocttx min)
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
(
ˆ
10
∈⋅=
ξ
, если
ε
∃
> 0
,)(
ˆ
)(
1
ε
<⋅−⋅ xx ,
ˆ
00
ε
<− tt .
ˆ
11
ε
<− tt 
         π 2                       π 2                                2

          ∫    2 xˆ&h& dt =        ∫ 2 xˆ& dh = 2 xˆ&h |0 − ∫ 2 &xˆ&h = 2(cost − sint )h |0 −
                                                        π 2                               π 2

          0                         0                                 0
                   2                                                      π 2
         − 2 ∫ &xˆ&h dt = −2h (π 2) − 2h(0) + 2 ∫ xˆh dt (т.к. &xˆ& + xˆ = 0 ).
                   0                                                       0
                                                              π 2               π 2             π 2
          ΔB = −2h (π 2) − 2h(0) + 2 ∫ xˆh dt +                                 ∫     h& 2 dt − 2 ∫ xˆh dt −
                                                                  0              0               0
              π 2
         −     ∫ h dt + 2h(0) + h                  (0) − 2h (π 2) − h 2 (π 2) + 4h (π 2) =
                        2                      2

               0
              π 2                  π 2
         =     ∫       h& 2 dt −    ∫ h dt + h         (0) − h 2 (π 2) .
                                         2         2

               0                    0

         Если h ≡ ε, то ΔB = −π/2⋅ε
                                                         2
                                  < 0, если
       ⎧ε (1 − t ),0 ≤ t ≤1
h=⎨                         , то ΔB = ε − ε 2 + ε − 0 > 0 . Таким
                                        2   2    2

    ⎩ 0          1≤ t ≤π 2
образом, xˆ ∉ loc extr .

         8. Задача с подвижными концами.
         Постановка задачи. Задачей с подвижными концами называется
экстремальная задача в                   C 1 (Δ) :
                            t1

         I (ξ ) = ∫ f (t , x, x& )dt + ψ 0 (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) → extr                         (P)
                            t0

         ψ i (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) = 0, i = 1, m ,                                              (1)
где   ξ = ( x (⋅), t0 , t1 ) , Δ − конечный отрезок, t0 , t1 ∈ Δ, t0 < t1 .
         Частные случаи задачи, когда один конец или оба конца закреплены.
     Элемент ξ − называется допустимым, если                                     x ∈ C 1 ( Δ ) , и выпол-
няются условия (1).

         Определение. ξˆ = ( xˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 ) ∈ loc min P , если ∃ε > 0
          x (⋅) − xˆ (⋅) 1 < ε , t0 − tˆ0 < ε , t1 − tˆ1 < ε .


                                                             28

Страницы