Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

30
Необходимые условия экстремума:
а) уравнение Эйлера для интегранта :
3
0
xL
&
λ
=
10
0060 CCtxxxxLL
dt
d
xx
+=⇒=⇒=⋅−⇒=+−
&&&&&
&
λ
,
CtxCx
=
⇒=⇒= 00)0(
1
;
б) условия трансверсальности
)()0(
)(,)0(
Txxxx
lTllL
−
=
=
&&
,
1
2
0
)0(3
λλ
=x
&
, ))(1()(3
2
2
0
TxTx
&&
−−=
λλ
;
в) стационарность по
T
0)()(0)(
22
3
0
=++⇔=Λ TxTxT
T
&&
λλλ
.
Если
0
0
=
λ
, то из б) 00
021
≠
⇒
=
=
λ
λ
λ
.
Пусть
1
0
=
λ
. Из x(0) = 0
0
ˆ
0
=
⇒
=
xC
.
Из
11)(
=
⇒=+ TTxT . Если th
ε
±
=
2,1
, то 0)
ˆ
(
1
>
+
hxI ,
extrlocxhxI
∉
⇒<+
ˆ
0)
ˆ
(
2
.
9. Изопереметрическая задача.
Постановка задачи. Изопереметрической задачей называется
следующая экстремальная задача в
],[
10
1
ttC :
extrdttxtxtfxI
t
t
→=⋅
∫
1
0
))(),(,())((
00
&
(P)
∫
===⋅
1
0
,1))(),(,())((
t
t
iii
midttxtxtfxI
α
&
(1)
miRxtxxtx
i
,1,,)(,)(
1100
=∈==
α
.
Определение.
Plocx min
ˆ
∈
, если ∃
ε
> 0, такое что
)(PDx ∈ ,
))(
ˆ
())(()(
ˆ
)(
00
1
⋅≥⋅⇒<⋅−⋅ xIxIxx
ε
.
Правило решения. Пишем лагранжиан
∑
=
=
m
i
ii
xxtfL
0
),,(
&
λ
. 
       Необходимые условия экстремума:
       а) уравнение Эйлера для интегранта : L =                 λ0 x& 3
           d
       −      Lx& + Lx = 0 ⇒ −6λ0 x& ⋅ &x& = 0 ⇒ &x& = 0 ⇒ x = Ct + C1 ,
           dt
        x (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ⇒ x = Ct ;
       б) условия трансверсальности Lx& (0) = l x ( 0 ) , l x& (T ) = −l x ( T ) ,

       λ0 3x& 2 (0) = λ1 , λ0 3x& 2 (T ) = −λ2 (1 − x& (T )) ;
       в) стационарность по T
       Λ T (T ) = 0 ⇔ λ0 x& 3 (T ) + λ2 + λ2 x& (T ) = 0 .
       Если λ0 = 0 , то из б) λ1 = λ2 = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 .
       Пусть λ0 = 1 . Из x(0) = 0 C = 0 ⇒ xˆ = 0 .
       Из T + x (T ) = 1 ⇒ T = 1 . Если h1, 2 = ±ε t , то I ( xˆ + h1 ) > 0 ,
        I ( xˆ + h2 ) < 0 ⇒ xˆ ∉ loc extr .

       9. Изопереметрическая задача.
       Постановка задачи. Изопереметрической задачей называется
                                                  1
следующая экстремальная задача в C [t0 , t1 ] :
                       t1

        I 0 ( x (⋅)) = ∫ f 0 (t , x (t ), x& (t )) dt → extr                  (P)
                       t0
                       t1

        I i ( x (⋅)) = ∫ f i (t , x (t ), x& (t )) dt = α i   i = 1, m        (1)
                       t0

        x (t0 ) = x0 ,      x (t1 ) = x1 , α i ∈ R, i = 1, m .

       Определение. xˆ ∈ loc min P , если ∃ ε > 0, такое что
x ∈ D (P ) ,
       x (⋅) − xˆ (⋅) 1 < ε ⇒ I 0 ( x (⋅)) ≥ I 0 ( xˆ (⋅)) .
                                                                          m
       Правило решения. Пишем лагранжиан L =                          ∑ λ f (t, x, x& ) .
                                                                      i =0
                                                                              i   i




                                                30

Страницы