Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

32
∫∫
⇒=+=
1
0
1
0
0)( dthxtdttx
∫
=⇒
1
0
0dtth . Итак min
ˆ
absx
∈
.
Пример 2.
∫
→=
1
0
2
)( extrdtxxI
&
,
∫
=
1
0
1dtx
,
∫
=
1
0
0dttx
,
0)1()0( == xx .
Лагранжиан:
txxxL
21
2
0
λλλ
++=
&
Уравнение Эйлера:
02
210
=
+
+
−
tx
λ
λ
λ
&&
.
000
0210
≠
⇒
=
=
⇒
=
λ
λ
λ
λ
.
Пусть
21
0
=
λ
. Тогда
43
2
2
3
121
CtCtCtCxtx +++=⇒+=
λλ
&&
.
00)1(.00)0(
3214
=
+
+
⇒
=
=⇒= CCCxCx . (1)
∫
=++⇒=
1
0
321
12341 CCCdtx
, (2)
∫
=++⇒=
1
0
321
03450 CCCdttx , (3)
(1), (2), (3)
⇒ C
1
= 60, C
2
= − 96, C
3
=36.
tttx 369660
ˆ
23
+−= .
],1,0[
1
0
Ch ∈
∫
=
1
0
0dth ,
∫
=
1
0
0dtth .
=Δ
I
∫
+
1
0
2
dth
&
2
∫
≥
1
0
ˆ
dthx
&
&
2
∫
=
1
0
ˆ
dthx
&
&
∫
=
1
0
ˆ
2 dhx
&
−
1
0
|
ˆ
2 hx
&
∫
=
1
0
ˆ
dthx
&&
∫
=−=
1
0
ˆ
dthx
&&
∫∫∫
=+−=−−
1
0
1
0
1
0
0192360)192360( dthdtthdtht
.
min
ˆ
absx
∈
. 
            1           1                                    1

            ∫ tx dt = ∫ t ( x + h)dt = 0 ⇒
            0           0
                                                          ⇒ ∫ th dt = 0 . Итак xˆ ∈ abs min .
                                                             0

                                         1                       1            1
        Пример 2. I ( x ) = ∫ x& 2 dt → extr ,                   ∫ x dt = 1 , ∫ tx dt = 0 ,
                                         0                       0            0
         x(0) = x(1) = 0 .
        Лагранжиан: L = λ0 x& + λ1 x + λ2 tx
                              2


        Уравнение Эйлера: − 2λ0 &x& + λ1 + λ2 t = 0 .
                           λ0 = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 .
        Пусть λ0 = 1 2 . Тогда
&x& = λ1 + λ2 t ⇒ x = C1t 3 + C 2 t 2 + C3t + C4 .
         x (0) = 0 ⇒ C4 = 0. x (1) = 0 ⇒ C1 + C2 + C3 = 0 .                                  (1)
            1

            ∫ x dt = 1 ⇒ C
            0
                                    1   4 + C2 3 + C3 2 = 1 ,                                (2)

        1

        ∫ tx dt = 0 ⇒ C
        0
                                    1   5 + C 2 4 + C3 3 = 0 ,                               (3)

        (1), (2), (3) ⇒ C1 = 60, C2 = − 96, C3 =36.
        xˆ = 60t 3 − 96t 2 + 36t .
                                1                1
        h ∈ C01 [0, 1],         ∫ h dt = 0 , ∫ th dt = 0 .
                                0                0
        1                   1                1               1                        1
ΔI = ∫ h& 2 dt + 2 ∫ xˆ&h& dt ≥ 2 ∫ xˆ&h& dt = 2 ∫ x&ˆ dh = 2 xˆ&h |10 −              ∫ &xˆ&h dt =
        0                   0                0               0                        0
    1                   1                                        1                1
= − ∫ &xˆ&h dt = − ∫ (360t − 192)h dt = −360∫ th dt + 192 ∫ h dt = 0 .
    0                   0                                        0                0
                xˆ ∈ abs min .




                                                     32

Страницы