Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

33
10. Задача со старшими производными
Постановка задачи. Задачей со старшими производными называ-
ется следующая экстремальная задача в
],[
10
ttC
n
:
∫
→=⋅
t
t
n
extrdttxtxtxtxtLxI
0
))(,),(),(),(,())((
)(
K
&&&
(P)
1,0,1,0,)(
)(
=−== jnkxtx
kjj
k
.
Функция
n + 2 переменных L называется интегрантом.
Норма в пространстве
],[
10
ttC
n
:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
≤≤≤≤≤≤
|)(|max,|,)(|max|,)(|maxmax:)(
)(
101010
txtxtxtx
n
tttTttttt
n
K
&
.
Определение. Plocx min
ˆ
∈ , если :0>
∃
ε
))(
ˆ
())(()(
ˆ
)( ⋅≥⋅⇒<⋅−⋅ xIxIxx
n
ε
.
Правило решения. 1. Пишем необходимые условия экстремума −
уравнение Эйлера-Пуассона:
∑
=
=−
n
k
x
k
k
k
tL
dt
d
k
0
0)()1(
)(
.
2. Находим общее решение этого уравнения и с помощью началь-
ных условий находим все константы и устанавливаем экстремали
x
ˆ
.
3. С помощью непосредственной проверки находим, что функции
x
ˆ
доставляют экстремумы или нет.
Пример 1.
∫
→−=
1
0
2
)48()( extrdtxxxI
&&
, 0)0()0( =
=
xx
&
,
4)1(,1)1( == xx
&
.
2
48 xxL
&&
−= ,
2
2xL
x
&&
&&
−= , 48
=
x
L , 0
=
x
L
&
.
Уравнение Эйлера-Пуассона:
⇒=⇒=− 240248
)4()4(
xx
43
2
2
3
1
4
CtCtCtCtx ++++=⇒ .
00)0(
4
=⇒= Cx , 00)0(
3
=
⇒
=
Cx
&
.
01)1(
21
=
+⇒= CCx , ⇒
=
+
⇒
=
4234)1(
21
CCx
&
4
21
ˆ
0 txCC =⇒==⇒
. 
      10. Задача со старшими производными
      Постановка задачи. Задачей со старшими производными называ-
                                                      n
ется следующая экстремальная задача в C [t 0 , t1 ] :
                    t

       I ( x (⋅)) = ∫ L(t , x (t ), x& (t ), &x&(t ), K , x ( n ) (t ))dt → extr   (P)
                    t0

       x ( k ) (t j ) = xkj , k = 0, n − 1,        j = 0,1 .
      Функция n + 2 переменных L называется интегрантом.
                                          n
      Норма в пространстве C [t0 , t1 ] :

        x (t ) n : = max ⎧⎨max | x (t ) |, max | x& (t ) |,K, max | x ( n ) (t ) |⎫⎬ .
                          ⎩ t0 ≤t ≤t1      t0 ≤t ≤T1          t0 ≤t ≤t1            ⎭
      Определение. xˆ ∈ loc min P , если ∃ε > 0 :
        x (⋅) − xˆ (⋅) n < ε ⇒ I ( x (⋅)) ≥ I ( xˆ (⋅)) .
      Правило решения. 1. Пишем необходимые условия экстремума −
                                      n
                                                   dk
уравнение Эйлера-Пуассона:           ∑ ( −1) k
                                     k =0
                                                       L ( k ) (t ) = 0 .
                                                   dt k x
      2. Находим общее решение этого уравнения и с помощью началь-
ных условий находим все константы и устанавливаем экстремали x̂ .
      3. С помощью непосредственной проверки находим, что функции x̂
доставляют экстремумы или нет.
                                 1

                                 ∫
      Пример 1. I ( x ) = ( 48 x − &x&2 ) dt → extr , x (0) = x& (0) = 0 ,
                                 0
       x (1) = 1, x& (1) = 4 .
       L = 48 x − &x&2 , L&x& = −2x&&2 , Lx = 48 , Lx& = 0 .
      Уравнение Эйлера-Пуассона: 48 − 2 x                       = 0 ⇒ x ( 4 ) = 24 ⇒
                                                          (4)


       ⇒ x = t 4 + C1t 3 + C 2 t 2 + C3t + C 4 .
       x (0) = 0 ⇒ C4 = 0 , x& (0) = 0 ⇒ C3 = 0 .
       x (1) = 1 ⇒ C1 + C 2 = 0 , x& (1) = 4 ⇒ 3C1 + 2C2 = 4 ⇒
       ⇒ C1 = C2 = 0 ⇒ xˆ = t 4 .


                                              33

Страницы