Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

34
∫∫ ∫
−−=−+=Δ
1
0
1
0
1
0
2
ˆ
248)
ˆ
()
ˆ
( dthxdthdthxIhxII
&&
&&
&&
.
∫
=−
1
0
ˆ
2 dthx
&&
&&
∫
=−
1
0
ˆ
2 hdx
&
&&
1
0
|
ˆ
2 hx
&
&&
−
∫
=+
1
0
)3(
ˆ
2 dthx
&
∫
=
1
0
)3(
ˆ
2 dthx
&
∫
==
1
0
)3(
ˆ
2 dhx
1
0
)3(
|
ˆ
2 hx
∫
=−
1
0
)(
ˆ
2 dthx
n
∫
−
1
0
242 dth
.
∫∫ ∫ ∫
∈⇒≤−=−−=Δ
1
0
1
0
1
0
1
0
22
max
ˆ
04848 absxdthdthdthdthI
&&&&
.
Легко проверить, что
−
∞
=
min
S .
Пример 2.
∫
→−=
1
0
2
)24()( extrdttxxxI
&&
,
)0()0( xx
&
= = 0,
1)1(,51)1(
=
=
xx
&
.
Лагранжиан:
0
2
2
=+−
xxx
LL
dt
d
L
dt
d
&&&
.
43
2
2
3
1
5)4()4(
10120242 CtCtCtCtxtxtx ++++=⇒=⇒=− .
)0()0( xx
&
= = 0 0
43
=
=⇒ CC .
10151)1(
21
=
+⇒= CCx
,
⇒
=
+
⇒
=
21231)1(
21
CCx
&
)23(101
ˆ
51,103
235
21
tttxCC −+⋅=⇒−==⇒ .
∫∫
⇒=−≤−+=Δ
1
0
1
0
2
min
ˆ
0)24
ˆ
24()24
ˆ
2( absxdtthhxdtthhhxI
&&
&&
&&&&
&&
11. Задача Лагранжа.
Постановка задачи. Задачей Лагранжа называется следующая
экстремальная задача.
min;)(
0
→
ξ
B miB
i
′
=≤ ,1,0)(
ξ
, mmiB ,1,0)(
1
+
′
==
ξ
(P)
Δ
∈
∀
=
− ttxttx 0))(,()(
ϕ
α
&
, (1)
),),((
10
ttx ⋅
=
ξ
, ),()(
1 n
RCx Δ∈⋅ ,
Δ
∈
10
, tt , Δ − отрезок. 
                                                 1             1               1
       ΔI = I ( xˆ + h ) − I ( xˆ ) = 48∫ h dt − ∫ h&&2 dt − 2 ∫ &xˆ&h&& dt .
                                                 0             0               0
            1                   1                                      1           1
       − 2 ∫ &xˆ&h&& dt = − 2 ∫ &xˆ& dh& = − 2 &xˆ&h& |10 + 2 ∫ xˆ ( 3) h& dt = 2 ∫ xˆ ( 3) h& dt =
            0                   0                                      0           0
            1                                     1                        1
       = 2 ∫ xˆ ( 3) dh = 2 xˆ ( 3) h |10 − 2 ∫ xˆ ( n ) h dt = − 2 ∫ 24h dt .
            0                                     0                        0
                    1       1                1                 1
      ΔI = 48∫ h dt − ∫ h&&2 dt − 48∫ h dt = − ∫ h&&2 dt ≤ 0 ⇒ xˆ ∈ abs max .
                    0       0                0                     0

       Легко проверить, что S min = −∞ .
                                    1

                                    ∫
       Пример 2. I ( x ) = ( &x&2 − 24tx ) dt → extr ,
                                    0

       x (0) = x& (0) = 0, x (1) = 1 5 ,                   x& (1) = 1 .
                            2
                    d           d
       Лагранжиан:     2
                          L&x& − Lx& + Lx = 0 .
                    dt          dt
2 x − 24t = 0 ⇒ x = 12t ⇒ x = t 5 10 + C1t 3 + C2 t 2 + C3t + C4 .
   (4)                (4)


x (0) = x& (0) = 0 ⇒ C3 = C4 = 0 .
       x (1) = 1 5 ⇒ C1 + C 2 = 1 10 , x& (1) = 1 ⇒ 3C1 + 2C 2 = 1 2 ⇒
       ⇒ C1 = 3 10 , C2 = − 1 5 ⇒ xˆ = 1 10 ⋅ (t 5 + 3t 3 − 2t 2 ) .
                1                                      1
       ΔI = ∫ ( 2 &xˆ&h&& + h&&2 − 24th ) dt ≤ ∫ ( 24 &xˆ&h&& − 24th ) dt = 0 ⇒ xˆ abs min
                0                                      0



       11. Задача Лагранжа.
       Постановка задачи. Задачей Лагранжа называется следующая
экстремальная задача.
       B0 (ξ ) → min; Bi (ξ ) ≤ 0, i = 1, m ′ , B1 (ξ ) = 0, i = m ′ + 1, m
(P)
       x&α (t ) − ϕ (t , x (t )) = 0 ∀t ∈ Δ ,                                            (1)
        ξ = ( x (⋅), t0 , t1 ) , x(⋅) ∈ C ( Δ, R ) , t0 , t1 ∈ Δ , Δ − отрезок.
                                              1            n


                                                  34

Страницы