Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

36
б) трансверсальности по
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔=
)(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
00
00
)(0
0
tltf
tltp
ltL
xx
x
txx
ββ
α
&
&
;
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
⇔−=
)(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
11
11
)(1
1
tltf
tltp
ltL
xx
x
txx
ββ
α
&
&
;
в) стационарности по подвижным концам (только для подвижных
концов)
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
0
ˆ
0)(0
000
=++−⇔=Λ txlltf
txtt
&
,
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
0
ˆ
1)(1
111
=++⇔=Λ txlltf
txtt
&
;
г) дополняющей нежёсткости
miB
ii
′
== ,1,0)
ˆ
(
ξλ
;
д) неотрицательности
mi
i
′
=≥ ,0,0
λ
.
4. Находятся экстремали
x
ˆ
, удовлетворяющие условиям а) − д).
5. Непосредственной проверкой устанавливается, являются ли
x
ˆ
экстремумами или нет.
Пример 1.
∫
==→−=
1
0
2
0)1()0(,)48()( xxextrdtxxxB
&&
.
Приведём задачу к виду
(P). Для этого положим xxxx
&
=
=
21
, .
Получаем
∫
→−=
1
0
1
2
2
min)48()( dtxxxB
&
,
0)1()0(,
1111
=
=
=
xxxx
&
.
Функция Лагранжа
)1()0()))(()48((
212112
1
0
0
xxdtxxtpxx
λλλ
++−+−=Λ
∫
&&
.
Необходимые условия экстремума:
а) система уравнений Эйлера для лагранжиана
))(()48(
211
2
20
xxtpxxL −+−=
&&
λ
, 
      б) трансверсальности по x
                                  ⎧⎪ p (tˆ0 ) = lˆx (t0 )
      Lˆ x& (tˆ0 ) = lˆx ( t0 ) ⇔ ⎨ ˆ             ˆ
                                                   α
                                                             ;
                                     f    (
                                   ⎪⎩ x& β 0ˆ
                                            t ) = l xβ (t0 )



                                   ⎧⎪ p (tˆ1 ) = −lˆx (t1 )
      Lˆ x& (tˆ1 ) = −lˆx ( t1 ) ⇔ ⎨ ˆ               ˆ
                                                      α
                                                                  ;
                                      f    (
                                    ⎪⎩ x& β 1ˆ
                                             t ) = − l x β ( t1 )

      в) стационарности по подвижным концам (только для подвижных
концов)
      Λˆ = 0 ⇔ − fˆ (tˆ ) + lˆ + lˆ xˆ& (tˆ ) = 0 ,
         t0            0       t0       x ( t0 )   0

      Λˆ = 0 ⇔ fˆ (tˆ ) + lˆ + lˆ xˆ& (tˆ ) = 0 ;
         t1          1      t1    x ( t1 )       1

      г) дополняющей нежёсткости λ B (ξˆ) = 0,      i    i             i = 1, m ′ ;

      д) неотрицательности                λi ≥ 0,       i = 0, m ′ .
      4. Находятся экстремали x̂ , удовлетворяющие условиям а) − д).
      5. Непосредственной проверкой устанавливается, являются ли x̂
экстремумами или нет.
                                      1

                                      ∫
      Пример 1. B ( x ) = ( &x&2 − 48 x )dt → extr ,
                                      0
                                                                         x (0) = x (1) = 0 .

      Приведём задачу к виду (P). Для этого положим x1 = x, x 2 = x& .
                                  1
      Получаем B ( x ) =         ∫ ( x&       − 48 x1 )dt → min ,
                                          2
                                          2
                                  0

       x&1 = x1 , x1 (0) = x1 (1) = 0 .
      Функция Лагранжа
             1
      Λ = ∫ ( λ0 ( x& 2 − 48 x1 ) + p(t )( x&1 − x 2 ))dt + λ1 x (0) + λ2 x (1) .
             0

      Необходимые условия экстремума:
      а) система уравнений Эйлера для лагранжиана
      L = λ0 ( x& 22 − 48 x1 ) + p(t )( x&1 − x 2 ) ,

                                                  36

Страницы