Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

37
0480
0
11
=−−⇔=+−
λ
pLL
dt
d
xx
&
&
,
020
20
22
=−−⇔=+− pxLL
dt
d
xx
&&
&
λ
;
б) условия трансверсальности по
x для терминанта
:))1(()0(
1211
xxl
λ
λ
+=
21)1()0(
)1(,)0(,)0(
1111
λ
λ
−
=
=
⇔
−
=
= pplLlL
xxxx
&
,
0)1(2,0)0(2)1(,)0(
2020)1()0(
2222
=
=
⇔
−
=
= xxlLlL
xxxx
&&
&&
λ
λ
.
в)неотрицательности
0
0
≥
λ
.
0000
021
))
0
≠⇒==⇒=⇒=
λλλλ
ба
p .
Пусть
21
0
=
λ
. Тогда из а)
1
2424 Ctpp
+
−
=
⇒
−
=
&
,
⇒++=⇒+=⇒−=⇒−=
21
2
2
1224 CtCtxCtxpxpx
&&&&&&&&&&
43
2
2
3
1
4
32
2
1
3
4 CtCtCtCtxCtCtCtx ++++=⇒+++=⇒
&
,
00)0(
4
=⇒= Cx . 010)1(
321
CCCx
+
+
+
⇒
=
(1)
Из б)
0)0()0(
2
=
= xx
&&&
.
21
2
2)(612)( CtCttx ++=
&&
00)0(
2
=⇒
=
Cx
&&
,
206120)()1(
112
−
=
⇒
=
+
⇒== CCtxx
&&&
.
Из (1)
tttxC +−=⇒=
34
3
2
ˆ
1 ,
∫∫∫
−+=−+=Δ
1
0
1
0
1
0
2
48
ˆ
2)
ˆ
()
ˆ
( dthdthxdthxBhxBB
&&
&&
&&
.
∫∫ ∫ ∫
−=−==
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
ˆ
22|
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2 dhxdthxhxhdxdthx
&&&
&
&&&
&
&&
&
&&
&&
&&
, так как
0)1(
ˆ
)0(
ˆ
== xx
&&&&
. Далее
∫∫∫
=+−=−
1
0
1
0
1
0
)4()4(1
0
ˆ
2
ˆ
2|
ˆˆ
2 dthxdthxhxdhx
&&&&&&
, 
          d
         −   Lx& + Lx1 = 0 ⇔ − p& − λ0 48 = 0 ,
          dt 1
          d
         − Lx&2 + Lx2 = 0 ⇔ −2λ0 &x&2 − p = 0 ;
          dt
        б) условия трансверсальности по x для терминанта
        l = λ1 x1 (0) + λ2 ( x1 (1)) :
        Lx&1 (0) = l x1 ( 0 ) , Lx1 = −l x1 (1) ⇔ p(0) = λ1 , p(1) = − λ2 ,
         Lx&2 (0) = l x2 ( 0 ) , Lx&2 (1) = −l x2 (1) ⇔ 2λ0 x& 2 (0) = 0, 2λ0 x& 2 (1) = 0 .

        в)неотрицательности            λ0 ≥ 0 .
                     а)           б)
        λ0 = 0 ⇒ p = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 .
        Пусть λ0 = 1 2 . Тогда из а) p& = −24 ⇒ p = −24t + C1 ,
      &x&2 = − p ⇒ &x&& = − p ⇒ &x&& = 24t + C ⇒ &x& = 12t 2 + C1t + C 2 ⇒
      ⇒ x& = 4t 3 + C1t 2 + C 2 t + C3 ⇒ x = t 4 + C1t 3 + C2 t 2 + C3t + C 4 ,
         x (0) = 0 ⇒ C4 = 0 . x (1) = 0 ⇒ 1 + C1 + C 2 + C3 0            (1)
        Из б) x& 2 (0) = &x&(0) = 0 . &x&(t ) = 12t + 6C1 (t ) + 2C 2
                                                   2


      &x&(0) = 0 ⇒ C 2 = 0 ,
      x& 2 (1) = &x&(t ) = 0 ⇒ 12 + 6C1 = 0 ⇒ C1 = −2 .
         Из (1) C3 = 1 ⇒ xˆ = t − 2t + t ,
                                  4    3

                                                1           1             1
         ΔB = B ( xˆ + h ) − B ( xˆ ) = ∫ h&&2 dt + 2 ∫ &xˆ&h&&dt − ∫ 48h dt .
                                                0           0             0
  1              1                          1                1
2 ∫ &xˆ&h&&dt = 2 ∫ &xˆ&dh& = 2 &xˆ&h& |10 −2 ∫ &x&&h& dt = −2 ∫ &xˆ&&dh , так как
  0              0                          0                0
                                       1                          1                  1

                                 ∫     0
                                                     0   ∫        0
                                                                           ∫
&xˆ&(0) = &xˆ&(1) = 0 . Далее − 2 &xˆ&&dh = −&xˆ&&h |1 +2 xˆ ( 4 ) h dt = 2 xˆ ( 4 ) h dt ,
                                                                                     0




                                                    37

Страницы