Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

39
Определение. ДУП
)
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
(
ˆ
10
ttux ⋅⋅=
ξ
называется оптималь-
ным, если
)
ˆ
()(
ˆ
,
ˆ
,)(
ˆ
)(:0
001100
ξξεεεε
BBttttxx ≥⇒<−<−<⋅−⋅>∃ .
Правило решения. 1. Для множителей Лагранжа
0),,(),(
11
≠Δ×∈
+
λλ
nm
RPCRp
пишется функция Лагранжа:
∫
+−+=⋅⋅Λ
1
0
))),,()((),,((),),(),((
10
t
t
dtuxtxtpuxtfttux
ϕ
&
))(,),(,(
1100
txttxtl+ ,
где
∑
=
=
m
i
ii
uxtfuxtf
0
),,(),,(
λ
,
∑
=
=
m
i
ii
txttxtll
0
1100
))(,),(,(
λ
.
2. Выписываем необходимые условия экстремума:
а) стационарности по x − уравнений Эйлера для лагранжиана
:)),,((),,(),,,( uxtxpuxtfuxxtL
ϕ
−
+
=
&&
0)(
ˆ
)()(
ˆ
)(0)(
ˆ
)(
ˆ
=−+−⇔∈∀=+− ttptftpTttLtL
dt
d
xxxx
ϕ
&
&
;
б) трансверсальности по
x
)(0)(0
00
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
txtxx
ltpltL =⇔=
&
,
)(1)(1
11
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
txtxx
ltpltL −=⇔−=
&
;
в) оптимальности по
u:
⇔=
∈
))(
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
,())(),(
ˆ
),(
ˆ
,(min tutxtxtLtutxtxtL
Uu
&&
{}
Ttttptfutxttputxtf
Uu
∈∀−=−⇔
∈
)(
ˆ
)()(
ˆ
)),(
ˆ
,()()),(
ˆ
,(min
ϕϕ
;
г) стационарности по подвижным концам (только для подвижных
концов):
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
0
ˆ
0)(0
000
=++−⇔=Λ txlltf
txtt
&
,
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
0
ˆ
1)(1
111
=++⇔=Λ txlltf
txtt
&
;
д) дополняющей нежёсткости:
miB
ii
′
== ,0,0)
ˆ
(
ξλ
;
е) неотрицательности:
mi
i
′
=≥ ,0,0
λ
. 
       Определение. ДУП ξˆ = ( xˆ (⋅), uˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 ) называется оптималь-
ным, если
∃ε > 0 : x (⋅) − xˆ (⋅) < ε , t0 − tˆ0 < ε , t1 − tˆ1 < ε ⇒ B0 (ξ ) ≥ B0 (ξˆ) .

       Правило решения. 1. Для множителей Лагранжа
                     ( λ , p ) ∈ R m +1 × PC 1 ( Δ, R n ), λ ≠ 0
       пишется функция Лагранжа:
                                              t1

       Λ ( x (⋅), u(⋅), t0 , t1 ) = ∫ ( f (t , x, u ) + p(t )( x& − ϕ (t , x, u ))) dt +
                                          t0

       + l (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) ,
                                   m                                     m
       где f (t , x , u ) =        ∑ λ f (t , x, u ) ,
                                   i =0
                                          i        i               l = ∑ λi li (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) .
                                                                        i =0

       2. Выписываем необходимые условия экстремума:
       а) стационарности по x − уравнений Эйлера для лагранжиана
     L(t , x, x& , u ) = f (t , x, u ) + p( x& − ϕ (t , x, u )) :
    d
   − Lˆ x& (t ) + Lˆ x (t ) = 0 ∀t ∈ T ⇔ − p& (t ) + fˆx (t ) − p(t )ϕˆ x (t ) = 0 ;
    dt
    б) трансверсальности по x
     Lˆ x& (tˆ0 ) = lˆx ( t0 ) ⇔ p(tˆ0 ) = lˆx ( t0 ) ,
     Lˆ (tˆ ) = −lˆ ⇔ p(tˆ ) = −l ;
            x&   1      x ( t1 )                   1    x ( t1 )

       в) оптимальности по u:
       min L(t , xˆ (t ), x&ˆ (t ), u(t )) = L(t , xˆ (t ), xˆ& (t ), uˆ (t )) ⇔
           u∈U

⇔ min{ f (t , xˆ (t ), u ) − p(t )ϕ (t , xˆ (t ), u )} = fˆ (t ) − p(t )ϕˆ (t ) ∀t ∈ T ;
     u∈U
       г) стационарности по подвижным концам (только для подвижных
         ˆ = 0 ⇔ − fˆ (tˆ ) + lˆ + lˆ xˆ& (tˆ ) = 0 ,
концов): Λ t0            0      t0   x ( t0 ) 0

       Λˆ = 0 ⇔ fˆ (tˆ ) + lˆ + lˆ xˆ& (tˆ ) = 0 ;
          t1          1      t1   x ( t1 ) 1

       д) дополняющей нежёсткости: λi Bi (ξˆ) = 0, i = 0, m ′ ;
       е) неотрицательности:                   λi ≥ 0, i = 0, m ′ .

                                                       39

Страницы