Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 41 стр.

                             ⎧ 1, − π ≤ t < − π 2 , π 2 ≤ t < π
                   x& = uˆ = ⎨                                  .
                             ⎩− 1       −π 2 ≤ t < π 2
       Из x ( ±π ) = 0 следует
                       ⎧t + π , − π ≤ t ≤ π 2
                       ⎪
                  xˆ = ⎨ − t ,     t ≤π 2         ,
                       ⎪t − π , π 2 ≤ t ≤ π
                       ⎩
       π                    π       π                          π             π

       ∫ h sin t dt = ∫π hp& dt = ∫π h dp = hp | π           − ∫ h&p dt = − ∫ h&p dt ≥ 0 .
                                                        π
ΔB =                                                    −
       −ρ                   −       −                          −π            −π

                              p ≥ 0 ⇒ xˆ& = 1 ⇒ h& ≤ 0
       Так как xˆ& + h& ≤ 1,                           .
                             p ≤ 0 ⇒ xˆ& = −1 ⇒ h& ≥ 0
       Отсюда xˆ ∈ abs min .

       Для решения задачи на max полагаем               λ0 = −1 . Получаем практи-
чески предыдущую задачу с решением − x̂ , где x̂ − решение на минимум.
      Итак, − xˆ ∈ abs max .
                        2
       Пример 2.        ∫ x dt → extr,
                        0
                                             &x& ≤ 2,       x (0) = x& (0) = x& ( 2) = 0 .

       Положим x1 = x, x 2 = x& , &x& = u и приведём задачу к виду (P):
                  2
       B ( x ) = ∫ x1dt → min,          x&1 = x 2 ,     x& 2 = u, u ∈ [ −2, 2],
                  0

       x1 (0) = x2 (0) = x 2 ( 2) = 0.
       Функция Лагранжа
              2
        Λ = ∫ ( λ0 x1 + p1 (t )( x&1 − x 2 ) + p2 (t )( x& 2 − u )dt +
              0

       + λ1 x1 (0) + λ2 x2 (0) + λ3 x2 ( 2) .
       Необходимые условия:
       а) уравнения Эйлера
                      − p& 1 + λ0 = 0 ⇒       p1 (t ) = λ0 t + C1
                      − p& 2 − p1 = 0 ⇒       p2 (t ) = −λ0 ⋅ t 2 2 + C1t + C2

                                           41