Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

42
б) трансверсальности
3222
111
)2(,)0(
0)2(,)0(
λλ
λ
−==
==
pp
pp
;
в) оптимальности по
u
⎩
⎨
⎧
−
≠
=⇒−=−
≤
]2,2[
0)(),(sgn
ˆ
)(
ˆ
)()(min
22
22
2
изчислолюбое
tptp
ututputp
u
г)
0
0
≥
λ
.
2
ˆ
000
)
22
)
1
)
11
)
0
−=⇒≠=⇒=⇒=⇒= uCppCp
ваба
λ
или
22
−
=⇒ x
&&
или
21
22
2 AtAtx ++=⇒ или
21
2
BtBtx ++−= .
Для этих
x не выполняется 00)2()0()0(
0
≠
⇒
=
=
=
λ
xxx
&&
. Пусть
=⇒= )(1
1
)
0
tp
a
λ
CttpttpCt
аб
+−−=⇒−=⇒+= 2)2()(2)(
2
2
)
1
)
− парабола ветвя-
ми вниз с осью симметрии
x = 2. Если она не меняет знак, то как показано
выше, получается
x, не удовлетворяющий конечным условиям. Поэтому
парабола меняет знак с
"−" на "+" на [0, 2].
Следовательно,
⎩
⎨
⎧
<<+
<<+−
=⇒
⎩
⎨
⎧
<<
<<−
==
2,2
0,2
ˆ
2,2
0,2
ˆˆ
2
1
tCt
tCt
x
t
t
xu
τ
τ
τ
τ
&&&
.
⎩
⎨
⎧
<<−
<<−
=⇒==
2,42
0,2
ˆ
0)2()0(
tt
tt
xxx
τ
τ
&
&&
.
Из непрерывности
x
ˆ
в точке
τ
:
⎩
⎨
⎧
≤≤+−
≤≤+−
=⇒=⇒−=−
21,4
10,
ˆ
1422
2
2
1
2
tCtt
tCt
x
τττ
,
00)0(
1
=⇒= Cx .
Из непрерывности
x
ˆ
в точке
τ
=1 C
2
= 2.
Имеем
⎩
⎨
⎧
≤≤+−
≤≤−
=
21,24
10,
ˆ
2
2
ttt
tt
x
. 
      б) трансверсальности
                p1 (0) = λ1 ,           p1 ( 2) = 0
                                                      ;
                p 2 ( 0 ) = λ2 ,        p2 ( 2) = −λ3
      в) оптимальности по u
                                        ⎧ sgn p2 (t ), p2 (t ) ≠ 0
min− p2 (t )u = − p2 (t )uˆ (t ) ⇒ uˆ = ⎨
u ≤2
                                        ⎩ любое число из [ −2, 2]
     г) λ0 ≥ 0 .
        а)           б)            а)                     в)
λ0 = 0 ⇒ p1 = C1 ⇒ p1 = 0 ⇒ p2 = C2 ≠ 0 ⇒ uˆ = −2                  или
2 ⇒ &x& = −2 или 2 ⇒ x = t + A1t + A2 или x = −t + B1t + B2 .
                           2       2                           2


Для этих x не выполняется x (0) = x& (0) = x& ( 2) = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 . Пусть
       a)
λ0 = 1 ⇒ p1 (t ) =
         б)                 а)
= t + C ⇒ p1 (t ) = t − 2 ⇒ p2 (t ) = − (t − 2) 2 2 + C − парабола ветвя-
ми вниз с осью симметрии x = 2. Если она не меняет знак, то как показано
выше, получается x, не удовлетворяющий конечным условиям. Поэтому
парабола меняет знак с "−" на "+" на [0, 2].
      Следовательно,
                  ⎧− 2, 0 < t < τ            ⎧− 2t + C1 , 0 < t < τ
      uˆ = &xˆ& = ⎨                  ⇒ xˆ& = ⎨                       .
                  ⎩ 2, τ < t < 2             ⎩ 2t + C 2 , τ < t < 2
                                   ⎧ − 2t , 0 < t < τ
      x& (0) = x& ( 2) = 0 ⇒ x&ˆ = ⎨                     .
                                   ⎩2t − 4, τ < t < 2
      Из непрерывности x̂ в точке τ :
                                            ⎧ − t 2 + C1 , 0 ≤ t ≤ 1
        − 2τ = 2τ − 4 ⇒ τ = 1 ⇒ xˆ = ⎨ 2                               ,
                                            ⎩t − 4 t + C 2 , 1 ≤ t ≤ 2
      x (0) = 0 ⇒ C1 = 0 .
      Из непрерывности x̂ в точке τ =1 C2 = 2.
                     ⎧ − t2,         0 ≤ t ≤1
      Имеем xˆ = ⎨ 2                           .
                     ⎩t − 4t + 2, 1 ≤ t ≤ 2


                                           42

Страницы