Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 40 стр.

       3. Найти ДУП, для которых выполняются необходимые условия
экстремума. При этом удобно рассмотреть отдельно случаи λ0 = 0 и λ0 ≠
0. В последнем случае можно положить λ0 = 1 (или другой положитель-
ной константе).
       4. Отыскать решение среди найденных ДУП или показать, что ре-
шений нет.
                            π

                            ∫π x         sin t dt → extr ,   x& ≤ 1,      x ( ±π ) = 0 .
                                     2
      Пример 1.
                            −
      Приводим задачу к виду (P):
           π
B( x ) =   ∫π x sin t dt → extr,
           −
                                                 x& = u, u ∈ [ −1, 1],       x ( ±π ) = 0 .

      Функция Лагранжа
                    π
      Λ=
                 −π
                    ∫ (λ x sin t + p( x& − u )) dt + λ x( −π ) + λ x(π ) .
                        0                                    1                2


      Необходимые условия:
      а) уравнение Эйлера для лагранжиана L =                          λ0 x sin t + p( x& − u ) ,
      − p& + λ0 sin t = 0 ;
      б) условие трансверсальности Lx& = ( −1) l x ( t j ) ,                      j = 0, 1, ⇔
                                                                  j


      ⇔ p ( −π ) = λ1 , p (π ) = − λ2 ;
      в) min{− pu} = − puˆ ;
               u ≤1

      г)   λ0 ≥ 0        для min,           λ0 ≤ 0   для max.
               а)                                                            в)
  λ0 = 0 ⇒ p = const ≠ 0 (если 0, то λ1 = λ2 = 0 ) ⇒ uˆ = ±1 = x& −
     − противоречие с x ( ±π ) = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 .
                                а)
      Пусть  λ0 = 1 ⇒ p& = sin t ⇒ p = − cos t + C .
      Из в) следует, что uˆ = sgn p, т.е. x& = ±1 .
       Из центральной симметричности условий задачи следует, что реше-
ние x̂ должно быть центрально симметричным. Это возможно только при
 x̂ симметричной относительно оси y1. Следовательно, p = − cos t и по-
этому


                                                     40