Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

43
∫∫∫∫∫
=−=−==−+=Δ
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
ˆ
)
ˆ
( pdhdtgpdthdtxdthxB
&&&
∫∫ ∫ ∫
≥−=−==+−=
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
0222
2
02
0|| dtphdtphphdphdphph
&&&&&&&
&
.
(Здесь используются: 0)2()0()2()0(
2
==== hhph
&&
&
).
01
ˆ
0
01
ˆ
0
,2
ˆ
2
2
≤⇒=⇒≥
≥⇒−=⇒≤
≤+
hxp
hxp
hx
&&
&&
&&
&&
&&
&&
.
Отсюда
min
ˆ
absx ∈ .
Вследствие симметричности условий задачи при
1
0
−
=
λ
получаем
max
ˆ
absx ∈−
.
13. Задачи
1. extrxxxx →−+
21
2
2
2
1
3 .
2.
extrxxxx →−−−
2
2
2
1
4
2
4
1
22 .
3.
extrxxxxxx →−−++
21
2
221
2
1
121645 .
4.
1,45
22
=+→++ yxextryxyx .
5.
1,32
2
3
2
2
2
1321
=++→++ xxxextrxxx .
6.
143,
22
=+→+ yxextryx .
7.
21,1,
321321
2
3
2
2
2
1
=−+=++→++ xxxxxxextrxxx .
8.
3,1,0,12,
321
2
3
2
2
2
1
=≥≤++→++ ixxxxextrxxx
i
.
9.
623,0,1032,2
3212321221
=+
+
≥
≤
−
−
→
−
xxxxxxxextrxxx
.
10.
0,0,1,
212121
21
≥≥≤+→−−
−
xxxxextrxxe
xx
.
11.
,23,12max,
212121
≤
+
≤
+
→+= xxxxxxz
2,1,0 =≥ ix
i
.
12.
,12,12max,53
321321321
≤+
−
≥
+
+
→++= xxxxxxxxxz
3,1,0,232
321
=≥≥−+ ixxxx
i
. 
                  2                2           2         2              2
          ΔB = ∫ ( xˆ + h )dt − ∫ xˆ dt = ∫ h dt = − ∫ &p&2 g dt = − ∫ h dp& 2 =
                  0                0           0         0              0
                          2            2                     2              2
          = − hp& 2 |02 + ∫ h& dp2 = ∫ h& dp2 = h&p2 |02 − ∫ h&&p2 dt = − ∫ h&&p2 dt ≥ 0 .
                          0            0                     0              0

            (Здесь используются:     h(0) = p& 2 ( 2) = h&(0) = h&( 2) = 0 ).
             &xˆ& + h&& ≤ 2,   p2 ≤ 0 ⇒ &xˆ& = −1 ⇒ h&& ≥ 0
                                                             .
                               p2 ≥ 0 ⇒ &xˆ& = 1 ⇒ h&& ≤ 0

            Отсюда xˆ ∈ abs min .
            Вследствие симметричности условий задачи при              λ0 = −1   получаем
             − xˆ ∈ abs max .

            13. Задачи
1.    x12 + x22 − 3x1 x2 → extr .
2.    2 x14 − x24 − x12 − 2 x22 → extr .
3.    5 x12 + 4 x1 x2 + x22 − 16 x1 − 12 x2 → extr .
4.    5 x 2 + 4 xy + y 2 → extr, x + y = 1 .
5.    x1 + 2 x2 + 3x3 → extr, x12 + x22 + x32 = 1 .
6.        x 2 + y 2 → extr, 3x + 4 y = 1 .
7.        x12 + x22 + x32 → extr, x1 + x2 + x3 = 1,              x1 + x2 − x3 = 1 2 .
8.        x12 + x 22 + x32 → extr ,        x1 + x 2 + x3 ≤ 12,    xi ≥ 0, i = 1, 3 .
9.        x1 x2 − 2 x2 → extr, 2 x1 − x2 − 3x3 ≤ 10, x2 ≥ 0, 3x1 + 2 x2 + x3 = 6
      .
10. e x1 − x2 − x1 − x2 → extr, x1 + x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .
11. z = x1 + x 2 → max, x1 + 2 x 2 ≤ 1, 3 x1 + x 2 ≤ 2,
    xi ≥ 0, i = 1, 2 .
12. z = x1 + 3 x2 + 5 x3 → max, 2 x1 + x 2 + x3 ≥ 1, x1 − x 2 + 2 x3 ≤ 1,
          x1 + 2 x2 − 3x3 ≥ 2,         xi ≥ 0, i = 1, 3 .

                                                   43

Страницы