Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

35
∫
+=
1
0
)),(,),(,())(),(,()(
1100
t
t
iii
txttxtldttxtxtfB
&
ξ
mi ,0= .
Условие (1) может быть распространено лишь на некоторые коор-
динаты, пусть для определённости, на первые
k координат.
Обозначим
),(
βα
xxx = , ),,(
1 k
xxx K
=
α
, ),,(
1 nk
xxx K
+
=
β
.
Поставив
),( xt
ϕ
вместо
α
x
&
в ),,( xxtf
i
&
, можно считать, что
),,(
β
xxtff
ii
&
=
.
Определение.
Plocttx min),
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
(
ˆ
10
∈⋅=
ξ
, если 0>
∃
ε
:
εξ
<⋅−⋅∈
1
)(
ˆ
)(),( xxPD ,
⇒<−<−
εε
1100
ˆ
,
ˆ
tttt
)
ˆ
()(
00
ξξ
BB ≥ .
Правило решения. 1. Привести задачу к виду (P).
2. Написать функцию Лагранжа с множителями Лагранжа
:0),,(),(
11
≠Δ×∈
+
λλ
km
RCRp
∫
+−+=⋅Λ
1
0
))),()((),,((),),((
10
t
t
dtxtxtpxxtfttx
ϕ
αβ
&&
)),(,),(,(
1100
txttxtl+ где
∑
=
=
m
i
ii
xxtfxxtf
0
),,(),,(
ββ
λ
&&
,
∑
=
=
m
i
ii
txttxtll
0
1100
))(,),(,(
λ
− терминант.
3. Выписать необходимые условия экстремума:
а) стационарности по
)(
⋅
x − уравнение Эйлера для лагранжиана
:)),((),,(),,( xtxpxxtfxxtL
ϕ
αβ
−
+
=
&&&
0
ˆ
)(
ˆ
=+−
xx
LtL
dt
d
&
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−−
=+−−
⇔Δ∈∀
0)(
ˆ
)(
ˆ
)()(
ˆ
0)(
ˆ
)(
ˆ
)()(
tfttptf
dt
d
tfttptp
t
xxx
xx
βββ
αα
ϕ
ϕ
&
&
; 
                         t1

             Bi (ξ ) = ∫ f i (t , x (t ), x& (t ))dt + li (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )), i = 0, m .
                         t0
      Условие (1) может быть распространено лишь на некоторые коор-
динаты, пусть для определённости, на первые k координат.
      Обозначим x = ( xα , x β ) , xα = ( x1 , K , x k ) , x β = ( x k +1 , K , x n ) .
           Поставив       ϕ (t , x )    вместо x&α в f i (t , x , x& ) , можно считать, что
 f i = f i (t , x, x& β ) .
           Определение. ξˆ = ( xˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 , ) ∈ loc min P , если ∃ε > 0 :
ξ ∈ D ( P ), x (⋅) − xˆ (⋅) 1 < ε ,
t0 − tˆ0 < ε , t1 − tˆ1 < ε ⇒ B0 (ξ ) ≥ B0 (ξˆ) .

           Правило решения. 1. Привести задачу к виду (P).
           2. Написать функцию Лагранжа с множителями Лагранжа
             ( λ , p ) ∈ R m+1 × C 1 ( Δ, R k ), λ ≠ 0 :
                                   t1

             Λ ( x (⋅), t0 , t1 ) = ∫ ( f (t , x, x& β ) + p(t )( x&α − ϕ (t , x ))) dt +
                                   t0
                                                                       m
             + l (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )), где f (t , x, x& β ) = ∑ λi f i (t , x, x& β ) ,
                                                                      i =0
       m
l = ∑ λi li (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) − терминант.
      i =0

           3. Выписать необходимые условия экстремума:
           а) стационарности по x (⋅) − уравнение Эйлера для лагранжиана
             L(t , x, x& ) = f (t , x, x& β ) + p( x&α − ϕ (t , x )) :
  d ˆ
−    Lx& (t ) + Lˆ x = 0
  dt
              ⎧ − p& (t ) − p(t )ϕˆ x (t ) + fˆx (t ) = 0
              ⎪                      α          α
∀t ∈ Δ ⇔ ⎨ d                                               ;
                −      ˆ (t ) − p(t )ϕˆ (t ) + fˆ (t ) = 0
                       f
              ⎪⎩ dt x& β               xβ         xβ




                                                    35

Страницы