Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

31
Необходимые условия экстремума:
а) Уравнение Эйлера
0=+−
xx
LL
dt
d
&
.
б) Находим общее решение уравнения Эйлера при
0
0
=
λ
и 1
0
=
λ
(или другой ненулевой константе). Из условий на концах и из изоперемет-
рических условий (1) находятся константы и получается экстремаль
x
ˆ
.
в) Проверяем все экстремали по определению экстремумов: будут
ли они экстремумами, и какими, или нет.
Пример 1.
∫
→=
1
0
2
)( extrdtxxI
&
,
∫
=
1
0
0dttx
,
4)1(,4)0(
=
−= xxx .
Лагранжиан:
txxL
1
2
0
λλ
+=
&
.
Уравнение Эйлера:
02
10
=
+
−
tx
λ
λ
&&
.
000
010
≠
⇒=⇒=
λ
λ
λ
.
Пусть
21
0
=
λ
. Тогда
32
3
11
CtCtCxtx ++=⇒=
λ
&&
.
44)0(
3
−
=
⇒−= Cx , 84)1(
21
=
+
⇒
=
CCx .
∫
=−+⇒=−+
1
0
212
3
1
02350)4( CCdttCtCt
.
Это вместе с
8
21
=
+ CC дает 3,5
21
=
=
CC .
Итак,
435
ˆ
3
−+= ttx .
∫∫∫
=≥+=−+=Δ
1
0
1
0
1
0
2
ˆ
2
ˆ
2)
ˆ
()
ˆ
( dthxdthxdthxIhxII
&
&
&
&
&
∫∫∫∫
=−=−=−==
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
030152
ˆ
2|
ˆ
2
ˆ
2 dtthdtthdthxhxdhx
&&&&
.
Здесь
0|
ˆ
2
1
0
=hx
&
, так как
0)1()0(
=
=
hh
=+
−
= )0)((,4)0(( hxx
)0)0(4 =⇒
−
= h и
∫
=
1
0
0dtth
, так как 
      Необходимые условия экстремума:
                                      d
      а) Уравнение Эйлера −              Lx& + Lx = 0 .
                                      dt
      б) Находим общее решение уравнения Эйлера при                    λ0 = 0     и   λ0 = 1
(или другой ненулевой константе). Из условий на концах и из изоперемет-
рических условий (1) находятся константы и получается экстремаль x̂ .
      в) Проверяем все экстремали по определению экстремумов: будут
ли они экстремумами, и какими, или нет.
                                  1                     1
      Пример 1. I ( x ) =         ∫ x& dt → extr , ∫ tx dt = 0 ,
                                      2

                                  0                     0
      x (0) = x − 4, x (1) = 4 .
     Лагранжиан: L = λ0 x& + λ1tx .
                           2


     Уравнение Эйлера: − 2λ0 &x& + λ1t = 0 .
λ0 = 0 ⇒ λ1 = 0 ⇒ λ0 ≠ 0 .
      Пусть        λ0 = 1 2 . Тогда &x& = λ1t ⇒ x = C1t 3 + C2 t + C3 .
       x (0) = −4 ⇒ C3 = −4 , x (1) = 4 ⇒ C1 + C2 = 8 .
       1

       ∫ t (C t        + C 2 t − 4) dt = 0 ⇒ C1 5 + C 2 3 − 2 = 0 .
                   3
               1
       0

      Это вместе с C1 + C 2 = 8 дает C1 = 5, C 2 = 3 .
      Итак, xˆ = 5t + 3t − 4 .
                          3

                                          1         1              1
       ΔI = I ( xˆ + h ) − I ( xˆ ) = ∫ h& 2 dt + 2 ∫ xˆ&h& dt ≥ 2 ∫ xˆ&h& dt =
                                          0         0              0
           1                          1              1                    1
       = 2 ∫ x&ˆ dh = 2 x&ˆh |10 −2 ∫ &xˆ&h dt = −2 ∫ 15th dt = −30∫ th dt = 0 .
           0                          0              0                    0

        Здесь 2 x&ˆh |0 = 0 , так как h(0) = h(1) = 0
                      1


( x (0) = −4, ( x + h )(0) =
                                      1
       = −4 ⇒ h(0) = 0) и ∫ th dt = 0 , так как
                                      0




                                              31

Страницы