Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

29
Функция Лагранжа
∫
∑
=
+=Λ
1
0
1
11000
)),(,),(,()
ˆ
,,(
t
t
m
i
ii
txttxtdtxxtf
ψλλ
0),,,(
10
≠
=
m
λ
λ
λ
λ
K .
Правило решения. а) Пишется условие стационарности по x −
уравнение Эйлера для интегранта :
),,(
0
xxtfL
&
λ
=
:
0)(
ˆ
)(
ˆ
=+− tLtL
dt
d
xx
&
Δ
∈
∀
t
⇔
0)(
ˆ
)(
ˆ
0000
=+− tftf
dt
d
xx
λλ
&
;
б) условие трансверсальности по
x для терминанта
∑
−
=
m
i
ii
txttxtl
1
1100
:))(,),(,(
ψλ
)(00)(0
00
ˆ
)
ˆ
(
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
txxtxx
ltfltL =⇔=
&&
λ
,
)(10)(1
11
ˆ
)
ˆ
(
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
txxtxx
ltfltL −=⇔−=
&&
λ
;
в) условие стационарности по подвижным концам (только для под-
вижных концов):
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
0)
ˆ
(
ˆ
0)(000
000
=++−⇔=Λ txlltft
txtt
&
λ
,
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
0)
ˆ
(
ˆ
1)(101
111
=++⇔=Λ txlltft
txtt
&
λ
.
Используя эти необходимые условия экстремума, находим допус-
тимые экстремали
x
ˆ
и проверяем из определения экстремумов, являются
ли они экстремумами (и какими) или нет.
Пример 1
.
∫
=+=→=
T
TxTxextrdtxxI
0
3
1)(,0)0(,)(
&
.
Функция Лагранжа
∫
−+++=Λ
T
TxTxdtx
0
21
3
0
)1)(()0(
λλλ
&
. 
         Функция Лагранжа
                  t1                               m
         Λ = ∫ λ0 f (t , x, xˆ )dt + ∑ λiψ i (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )),
                  t0                               i =1

         λ = (λ0 , λ1 , K , λm ) ≠ 0 .
      Правило решения. а) Пишется условие стационарности по x −
уравнение Эйлера для интегранта : L = λ0 f (t , x, x& ) :
             d ˆ
         −      Lx& (t ) + Lˆ x (t ) = 0 ∀t ∈ Δ ⇔
             dt
    d
−      λ0 fˆ0 x& (t ) + λ0 fˆ0 x (t ) = 0 ;
    dt
         б) условие трансверсальности по x для терминанта
                  m
          l = ∑ λiψ i (t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) :
                  i −1

         Lˆ x& (tˆ0 ) = lˆx ( t0 ) ⇔ λ0 fˆx& (tˆ0 ) = lˆx ( t0 ) ,
         Lˆ x& (tˆ1 ) = −lˆx ( t1 ) ⇔ λ0 fˆx& (tˆ1 ) = −lˆx ( t1 ) ;
     в) условие стационарности по подвижным концам (только для под-
вижных концов):
         ˆ (tˆ ) = 0 ⇔ − λ fˆ (tˆ ) + lˆ + lˆ x&ˆ (tˆ ) = 0 ,
         Λ t0 0            0     0      t0   x ( t0 ) 0

         ˆ                ˆ         ˆ      ˆ   &
         Λ (tˆ ) = 0 ⇔ λ f (tˆ ) + l + l xˆ (tˆ ) = 0 .
             t1   1                0       1              t1        x ( t1 )   1
      Используя эти необходимые условия экстремума, находим допус-
тимые экстремали x̂ и проверяем из определения экстремумов, являются
ли они экстремумами (и какими) или нет.


                                       T
         Пример 1. I ( x ) =           ∫ x& dt → extr,                         x (0) = 0, T + x (T ) = 1 .
                                               3

                                       0
                                                   T
         Функция Лагранжа Λ =                      ∫ λ x& dt + λ x(0) + λ (T + x(T ) − 1) .
                                                                3
                                                           0                   1        2
                                                   0




                                                               29

Страницы