Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

26
Поэтому
0)323()
ˆ
3(
3
23
0
23
0
232
≥+⋅=+=Δ
∫∫
dthhtdthhxJ
&&&&
&
при малых h
&
. Поэтому
min
ˆ
locx
∈
.
Легко построить последовательность функций со сколь угодно
большими и малыми значениями
))((
⋅
n
xJ , откуда следует, что
∞
=
−
∞
=
maxmin
, SS .
7. Задача Больца
Постановка задачи. Задачей Больца называется экстремальная за-
дача без ограничений в пространстве
],[
10
1
ttC :
∫
→+=⋅
1
0
))(),(()(),(,())((
10
t
t
extrtxtxldttxtxtLxB
&
(P)
Функционал
B называется функционалом Больца, функция l − тер-
минантом. Допустимые функции − все функции из
],[
10
1
ttC .
Определение.
)max(min
ˆ
PlocPlocx ∈
, если
εε
≤⋅−⋅>∃
1
)(
ˆ
)(:0 xx влечёт
))(
ˆ
())((
⋅
≥
⋅
xBxB
)).)(
ˆ
())((( ⋅
≤
⋅ xBxB .
Правило решения. 1. Выписать необходимые условия экстремума:
а) уравнение Эйлера
],[0)(
ˆ
)(
ˆ
10
ttttLtL
dt
d
xx
∈∀=+−
&
;
б) условие трансверсальности
)(0
0
ˆ
)(
ˆ
txx
ltL =
&
,
)(1
1
ˆ
)(
ˆ
txx
ltL −=
&
.
2. Найти общее решение уравнения Эйлера, константы которых на-
ходятся из условий трансверсальности. Получим допустимые экстремали.
3. Проверить все допустимые экстремали: будут они решениями или нет.
Пример 1.
extrshxdtxxxB →−+=⋅
∫
1)1(2)())((
1
0
22
&
.
Необходимые условия экстремума:
а) уравнение Эйлера
00220 =−⇒=+−⇒=+− xxxx
dt
d
LL
dt
d
xx
&&&
&
; 
                           32                         32

      Поэтому ΔJ = ∫ (3 x&ˆh& + h& ) dt =             ∫ (3    2 3 ⋅ t h& 2 +h& 3 ) dt ≥ 0
                             2    3

                           0                           0

при малых h& . Поэтому xˆ ∈ loc min .
     Легко построить последовательность функций со сколь угодно
большими и малыми значениями J ( x n (⋅)) , откуда следует, что
                                S min = −∞, S max = ∞ .

      7. Задача Больца
      Постановка задачи. Задачей Больца называется экстремальная за-
                                                  1
дача без ограничений в пространстве C [t0 , t1 ] :
                    t1

       B ( x (⋅)) = ∫ L(t , x (t ), x& (t ) dt + l ( x (t0 ), x (t1 )) → extr        (P)
                    t0

      Функционал B называется функционалом Больца, функция l − тер-
                                                                    1
минантом. Допустимые функции − все функции из C [t0 , t1 ] .

      Определение. xˆ ∈ loc min P(loc max P ) , если
∃ε > 0 : x (⋅) − xˆ (⋅) 1 ≤ ε влечёт B( x(⋅)) ≥ B ( xˆ (⋅))
( B( x (⋅)) ≤ B( xˆ (⋅)).) .
      Правило решения. 1. Выписать необходимые условия экстремума:
                             d ˆ
      а) уравнение Эйлера −     Lx& (t ) + Lˆ x (t ) = 0 ∀t ∈ [t0 , t1 ] ;
                             dt
      б) условие трансверсальности Lˆ x& (t0 ) = lˆx ( t0 ) , Lˆ x& (t1 ) = −lˆx ( t1 ) .
      2. Найти общее решение уравнения Эйлера, константы которых на-
ходятся из условий трансверсальности. Получим допустимые экстремали.
      3. Проверить все допустимые экстремали: будут они решениями или нет.
                                     1

                                    ∫
      Пример 1. B ( x (⋅)) = ( x& 2 + x 2 ) dt − 2 x (1) sh1 → extr .
                                     0
      Необходимые условия экстремума:
      а) уравнение Эйлера
           d                  d
       −      Lx& + Lx = 0 ⇒ − 2 x& + 2 x = 0 ⇒ &x& − x = 0 ;
           dt                 dt
                                             26

Страницы