Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

19
4 Лекция 4. Полиномы регрессии – приближенное отраже-
ние идеальной математической модели объекта исследования
Все изложенное выше позволяет представить идентификацию функции
отклика объекта исследования в виде схемы
),()(),(),()(
βηϕηβηϕ
xxbxxx
)
)
==≈= ,
где три последних функции есть статистические оценки
)(x
ϕ
, а фун-
кции
),(
β
η
x и ),( bx
η
− сокращенными записями уравнений (5) и (6) соот-
ветственно. Вид полинома
),( bx
η
, адекватный идеальной модели ),(
β
η
x ,
нам не известен, и если относительно него нет каких-либо теоретических или
профессиональных соображений, то приходится прибегать к выработанным
практикой рекомендациям.
Практика обработки экспериментальных данных показала, что резуль-
таты эксперимента в виде табличной функции в большинстве случаев с дос-
таточным приближением отражаются полным кубическим полиномом по
форме уравнения (6). Часто третья степень полинома не только достаточна,
но и избыточна, т.е. степень и количество членов полинома можно и умень-
шить без существенной потери точности. Поэтому при построении и выборе
аппроксимирующего уравнения строят систему альтернативных уравне-
ний из полного кубического полинома и его отдельных степенных кусков.
Сравнивая характеристики точности отражения таблицы экспериментальных
данных этими уравнениями, выбирают наиболее приемлемое.
В качестве примера такого подхода рассмотрим кубическое уравнение
для 5-ти факторной задачи регрессии.
В соответствии с формой (6) полный кубический пятифакторный поли-
ном будет иметь следующий вид
у= b
0
+b
1
x1+b
2
x2+b
3
x3+b
4
x4+b
5
x5+b
12
x1x2+b
13
x1x3+b
14
x1x4 +
+b
15
x1x5+b
23
x2x3+b
24
x2x4+... +b
35
x3x5+b
45
x4x5+ b
123
x1x2x3+
+b
124
x1x2x4+...+b
135
x1x3x5+...+b
245
x2x4x5+...+ b
345
x3x4x5+
+b
1234
x1x2x3x4++b
1235
x1x2x3x5+b
1345
x1x3x4x5++b
2345
x2x3x4x5+
+b
12345
x1x2x3x4x5++b
11
x1
2
+b
22
x2
2
+b
33
x3
2
+b
44
x4
2
+b
55
x5
2
+b
111
x1
3
+
b
222
x2
3
+b
333
x3
3
+b
444
x4
3
+b
555
x5
3
, (7)
который содержит все возможные сочетания факторов
х1,х2,х3 и т.д. в
первой степени и члены полинома с единичными факторами в степени более
единицы. 
     4 Лекция 4. Полиномы регрессии – приближенное отраже-
ние идеальной математической модели объекта исследования

     Все изложенное выше позволяет представить идентификацию функции
отклика объекта исследования в виде схемы

                                            )        )
           ϕ ( x) = η( x, β ) ≈ η( x,b) = ϕ ( x) = η ( x, β ) ,
     где три последних функции есть статистические оценки         ϕ (x) , а фун-
кции η ( x, β ) и η ( x,b) − сокращенными записями уравнений (5) и (6) соот-
ветственно. Вид полинома η ( x,b) , адекватный идеальной модели η ( x, β ) ,
нам не известен, и если относительно него нет каких-либо теоретических или
профессиональных соображений, то приходится прибегать к выработанным
практикой рекомендациям.
      Практика обработки экспериментальных данных показала, что резуль-
таты эксперимента в виде табличной функции в большинстве случаев с дос-
таточным приближением отражаются полным кубическим полиномом по
форме уравнения (6). Часто третья степень полинома не только достаточна,
но и избыточна, т.е. степень и количество членов полинома можно и умень-
шить без существенной потери точности. Поэтому при построении и выборе
аппроксимирующего уравнения строят систему альтернативных уравне-
ний из полного кубического полинома и его отдельных степенных кусков.
Сравнивая характеристики точности отражения таблицы экспериментальных
данных этими уравнениями, выбирают наиболее приемлемое.
      В качестве примера такого подхода рассмотрим кубическое уравнение
для 5-ти факторной задачи регрессии.
      В соответствии с формой (6) полный кубический пятифакторный поли-
ном будет иметь следующий вид

у= b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b12x1x2+b13x1x3+b14x1x4 +
+b15x1x5+b23x2x3+b24x2x4+... +b35x3x5+b45x4x5+ b123x1x2x3+
+b124x1x2x4+...+b135x1x3x5+...+b245x2x4x5+...+ b345x3x4x5+
+b1234x1x2x3x4++b1235x1x2x3x5+b1345x1x3x4x5++b2345x2x3x4x5+
+b12345x1x2x3x4x5++b11x12+b22x22+b33x32+b44x42+b55x52+b111x13+
b222x23 +b333x33+b444x43 +b555x53,                            (7)

который содержит все возможные сочетания факторов х1,х2,х3 и т.д. в
 первой степени и члены полинома с единичными факторами в степени более
единицы.




                                                                             19

Страницы