Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

38
∑
=
=−=
n
i
c
i
zSotkl
1
min
2
)( . (20)
Требуется определить значение
с, при котором функция
otkl
S
обра-
щается в минимум. Решением является корень уравнения
0=
c
otkl
S
∂
∂
,
при условии, что вторая производная имеет положительное значение. Диффе-
ренцируя уравнение (20), получаем:
-2
∑
=
=−
n
i
c
i
z
1
0)(
,
откуда
∑
=
∑
=
=
n
i
n
i
c
i
z
11
, или
∑
⋅
=
cnz , т.е. zsr
n
z
c =
∑
= , где последняя вели-
чина означает среднее значение
z. Это означает min исследуемой функции
именно для условия
zsrc= . В то же время
[]
∑
=
>⋅=⋅=
∑
−−=
n
i
ncz
c
c
c
1
0212)(2
2
2
∂
∂
∂
∂
,
что доказывает второе свойство.
Условие (20) называют требованием наименьших квадратов, которое и
используется в процедуре регрессионного анализа.
Разделим центрированную величину
)(
M
z
i
z
−
на среднеквадратичное
отклонение
σ
исходной величины z. Такая операция называется нормиро-
ванием
, т.к. среднеквадратичное отклонение здесь выступает как мера или
норма измерения величины
)(
M
z
i
z
−
. Полученная величина
Z
n называет-
ся нормированной:
σ
Mz
i
z
i
Zn
−
= ,
а суммарная операция центрирования и нормирования называется
стандар-
тизацией
масштаба величины z.
Физический смысл переменной
Z
n заключается в том, что показывает,
на какое число величин
σ
отклоняется данное значение
i
от своего гене-
рального (или выборочного) среднего. Таким образом, для нормированной 
                                n
                       Sotkl = ∑ ( z − c) 2 = min .                       (20)
                                    i
                              i =1
     Требуется определить значение с, при котором функция      S          обра-
                                                                   otkl
щается в минимум. Решением является корень уравнения
                           ∂S otkl
                                     =0 ,
                             ∂c
при условии, что вторая производная имеет положительное значение. Диффе-
ренцируя уравнение (20), получаем:
                              n
                          -2 ∑ ( z − c) = 0 ,
                                  i
                            i =1
         n        n                         ∑z
откуда ∑ z = ∑ c , или ∑ z = n⋅c , т.е. c =    = zsr , где последняя вели-
             i                              n
       i =1     i =1
чина означает среднее значение z. Это означает min исследуемой функции
именно для условия c= zsr . В то же время


                    ∂ 2c ∂                      n
                         = [− 2∑ ( z − c)]= 2⋅ ∑1= 2⋅n > 0 ,
                    ∂c ∂c
                       2
                                              i =1
что доказывает второе свойство.
     Условие (20) называют требованием наименьших квадратов, которое и
используется в процедуре регрессионного анализа.
     Разделим центрированную величину ( z − Mz) на среднеквадратичное
                                            i
отклонение σ исходной величины z. Такая операция называется нормиро-
ванием, т.к. среднеквадратичное отклонение здесь выступает как мера или
норма измерения величины ( z − Mz) . Полученная величина Zn называет-
                              i
ся нормированной:
                                 z − Mz
                             Zn = i         ,
                               i    σ
а суммарная операция центрирования и нормирования называется стандар-
тизацией масштаба величины z.
     Физический смысл переменной Zn заключается в том, что показывает,
на какое число величин σ отклоняется данное значение zi от своего гене-
рального (или выборочного) среднего. Таким образом, для нормированной

38

Страницы