Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 40 стр.

    8 Лекция 8. Коэффициент корреляции – свойства и об-
ласть действия

     8.1 Корреляция и коэффициент корреляции. Диапазон значений

     Наличие зависимости между х и у немедленно вытекает из неравенства
                   M{(x-Mx)(y-My)}≠0.
Однако, обратное утверждение несправедливо и из равенства
                   M{(x-Mx)(y-My)}=0
делать вывод о независимости величин х и у нельзя. Это значит, что на дис-
персии суммы слагаемых сказывается не всякая стохастическая связь между
этими величинами (ниже мы покажем это на конкретном примере). Может
быть и так, что D{x+y}≠Dx+Dy, но это неравенство обуславливается толь-
ко частью связи между х и у. Вот эта часть стохастической связи между х и
у, которая вызывает отличие D{x+y} от Dx+Dy, называется корреляцией.
Необходимым и достаточным условием корреляции служит неравенство
M{(x-Mx)(y-My)}≠0 и поэтому величину M{(x-Mx)(y-My)} называют
корреляционным моментом. Однако эта характеристика силы стохастиче-
ской связи имеет некоторую неопределенность, т.к. ее значение зависит от от
единиц измерения величин х и у. Поэтому-то на практике и используют без-
размерную величину – коэффициент корреляции
                                 µ11{x, y}
                     ρ{x, y} =             .
                                  σ xσ y
     Представим выражение (18) в виде

                             2M {( x − Mx)( y − My)}
      D{x + y} = Dx + Dy +                            σ xσ y .
                                       σ xσ y
Тогда
                   D{x + y} = Dx + Dy + 2 ρσ xσ y ,
     где ρ - коэффициент корреляции.
      Из свойств коэффициента корреляции (которые мы опишем ниже) вы-
текает, что при переходе к нормированной форме величин, значение коэффи-
циента корреляции не изменяется. Поскольку дисперсии нормированных ве -
личин равны единице, то при при переходе к нормированной форме величин
получаем
                     D{xn + yn} = 1+1+ 2 ρ .
Можно показать, что

40