Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 42 стр.

      Таким образом, при крайних значениях ρ между величинами х и у
получаем функциональную линейную связь, т.е. коэффициент корреляции
есть показатель того, насколько связь между случайными величинами близка
к строгой линейной зависимости.
      Рассмотрим такой пример. Имеем зависимость вида y = ( x − Mx)2 .
Является ли величина х случайной величиной? Да, поскольку она имеет ма-
тематическое ожидание, отличное от других, текущих значений этой величи-
ны. Является ли величина у случайной величиной? Да, поскольку она являет-
ся функцией случайной величины.
      В связи со случайным характером значений величины х, а, следова-
тельно, и величины у, неизбежно наличие стохастической связи между ними.
Рассчитаем значение корреляционного момента для этого случая.
                µ1{x,y}= M{(x-Mx)(y-My)}.
                                                       y = ( x − Mx)2 .
Подставим в это уравнение значение у согласно зависимости
Тогда     µ1{x,y}= M{(x-Mx)[(x-Mx)2-M{(x-Mx)2} ]}.
Умножим выражение в квадратных скобках на множитель (x-Mx) и тогда
         µ1{x,y}= M{(x-Mx)(x-Mx)2-(x-Mx)M{(x-Mx)2}.
Разнося символ математического ожидания по элементам в фигурных скоб-
ках, получаем
 µ1{x,y}= M{(x-Mx)}M{(x-Mx)2}-M{(x-Mx)}M{(x-Mx)2}=0.
     Таким образом, наличие стохастической связи налицо по условиям за-
дачи, и в то же время µ1{x,y}=0, тогда как значение µ1{x,y} должно отли-
чаться от нуля.
      Причина этого «парадокса» проста: мы имеем параболическую зависи-
мость y = ( x − Mx)2 , в то время как и   µ1{x,y} и коэффициент корреляции
«работают» только при линейной связи.

     8.3 Выборочный коэффициент корреляции. Свойства коэффициен-
тов корреляции

      По своей статистической природе векторы-столбцы х1,х2, …,уg в таб-
лице экспериментальных данных представляют собой выборочные данные,
моделирующие соответствующие генеральные совокупности. Поскольку в
связи с матричными расчетами при решении задач регрессии процедура
включает исследование наличия линейной связи между всеми парами векто-
ров х, постольку необходимо использовать выборочные коэффициенты кор-
реляции r. Если неизвестны математическое ожидание и генеральная диспер-
сия, для расчета r приходится пользоваться их выборочными оценками, соот-


42