Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

47
В связи со случайным характером отклика
у
g
левая и правая часть по-
лученной системы уравнений (25) неравны, система является несовместной и
не имеет единственного решения, т.е. не существует такой комбинации неиз-
вестных коэффициентов
b
j
, которая отвечала бы всем уравнениям системы.
Поэтому такие системы носят название системы
условных уравнений. Пред-
ставим эту систему в новом виде
y
1
-( b
0
+b
1
⋅
x1
1
+b
2
⋅
x2
1
+b
12
⋅
x1
1
⋅
x2
1
+b
11
⋅
x1
1
2
+b
22
⋅
x2
1
2
)= e
1
,
y
2
- (b
0
+b
1
⋅
x1
2
+b
2
⋅
x2
2
+b
12
⋅
x1
2
⋅
x2
2
+b
11
⋅
x1
2
2
+b
22
⋅
x2
2
2
)
= e
2
,
.....................................................................................
....................................................................................
y
6
- (b
0
+b
1
⋅
x1
6
+b
2
⋅
x2
6
+b
12
⋅
x1
6
⋅
x2
6
+b
11
⋅
x1
6
2
+b
22
⋅
x2
6
2
)= e
6
,
y
7
- (b
0
+b
1
⋅
x1
7
+b
2
⋅
x2
7
+b
12
⋅
x1
7
⋅
x2
6
+b
11
⋅
x1
7
2
+b
22
⋅
x2
7
2
)= e
7
,
где
е
g
− есть разность между левой и правой частями уравнений.
Обратим внимание на то, что первый элемент левой части этой систе-
мы уравнений состоит из экспериментальных значений отклика
у
g
, а второй
– в круглых скобках, из значений, рассчитанных по уравнению регрессии
(24). Поэтому невязку баланса левой и правой частей этих уравнений можно
трактовать как отклонения расчетного значения отклика от эксперименталь-
ного его значения
.
Cуммарный характеристикой этих отклонений является
остаточная сумма
os
t
SUM
∑
=
∑
=−=
n
g
g
e
gr
y
g
y
ost
SUM
1
2
2
, (26)
где
у
gr
- расчетное значение отклика по уравнению (24).
Эта величина позволяет сформулировать понятие
наилучшего реше -
ния системы уравнений, которая не имеет единственного решения. Наилуч-
шим будет решение, которое
минимизирует остаточную сумму
os
t
SUM .
Такой подход к решению задачи называется
методом наименьших квадра-
тов
. В точке минимума функции (26) ее производные
j
b
ost
SUM ∂/
∂
рав-
ны нулю. Дифференцируя уравнение (26) по всем коэффициентам регрессии
и приравнивая нулю производные, получим систему
нормальных уравнений
/7/, которая совместна, имеет единственное решение и минимизирует оста-
точную сумму. Но для многофакторных полиномов высоких степеней спо-
соб создания системы нормальных уравнений через частные производные 
     В связи со случайным характером отклика уg левая и правая часть по-
лученной системы уравнений (25) неравны, система является несовместной и
не имеет единственного решения, т.е. не существует такой комбинации неиз-
вестных коэффициентов bj , которая отвечала бы всем уравнениям системы.
Поэтому такие системы носят название системы условных уравнений. Пред-
ставим эту систему в новом виде

    y1 -( b0+b1⋅x11+b2⋅x21+b12⋅x11⋅x21+b11⋅x112+b22⋅x212 )= e1,
    y2 - (b0+b1⋅x12+b2⋅x22+b12⋅x12⋅x22+b11⋅x122+b22⋅x222) = e2,
     .....................................................................................
     ....................................................................................
    y6 - (b0+b1⋅x16+b2⋅x26+b12⋅x16⋅x26+b11⋅x162+b22⋅x262)= e6,
    y7 - (b0+b1⋅x17+b2⋅x27+b12⋅x17⋅x26+b11⋅x172+b22⋅x272)= e7,

      где еg − есть разность между левой и правой частями уравнений.
      Обратим внимание на то, что первый элемент левой части этой систе-
мы уравнений состоит из экспериментальных значений отклика уg, а второй
– в круглых скобках, из значений, рассчитанных по уравнению регрессии
(24). Поэтому невязку баланса левой и правой частей этих уравнений можно
трактовать как отклонения расчетного значения отклика от эксперименталь-
ного его значения. Cуммарный характеристикой этих отклонений является
остаточная сумма SUM
                               ost
                         n          2
               SUM     = ∑  y − y  = ∑ e 2 ,
                                                                                     (26)
                   ost       g   gr       g
                        g =1

      где уgr- расчетное значение отклика по уравнению (24).

      Эта величина позволяет сформулировать понятие наилучшего реше -
ния системы уравнений, которая не имеет единственного решения. Наилуч-
шим будет решение, которое минимизирует остаточную сумму SUM          .
                                                                                       ost
Такой подход к решению задачи называется методом наименьших квадра-
тов. В точке минимума функции (26) ее производные ∂SUM    / ∂b рав-
                                                                           ost        j
ны нулю. Дифференцируя уравнение (26) по всем коэффициентам регрессии
и приравнивая нулю производные, получим систему нормальных уравнений
/7/, которая совместна, имеет единственное решение и минимизирует оста-
точную сумму. Но для многофакторных полиномов высоких степеней спо-
соб создания системы нормальных уравнений через частные производные


                                                                                             47

Страницы