Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

48
сложен и трудоемок. Существует более простой способ построения системы
нормальных уравнений путем пошагового преобразования системы условных
уравнений.
9.3 Преобразование системы условных уравнений по методу Гаус-
са. Система нормальных уравнений
Пошаговая процедура преобразования системы условных уравнений в
систему нормальных уравнений была разработана Гауссом. На первом шаге
процедуры каждое условное уравнение системы (25) умножается на свой
множитель при первом коэффициенте регрессии
b
0
, после чего все преобра-
зованные таким образом условные уравнения складываются сверху вниз;
суммарное уравнение и будет первым нормальным уравнением. Если, на-
пример, искомым уравнением регрессии будет полином вида
yxbxbxxbxbxbb =⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+
2
2
22
2
1
11
21
12
2
2
1
10
, (27)
то результат первого шага в алгебраическом виде будет следующим
n
⋅
b
0
+b
1
⋅
∑
x1+b
2
⋅
∑
x2+b
12
⋅
∑
x1⋅x2 +b
11
⋅
∑
x1
2
+b
22
⋅
∑
x2
2
=
∑
y,
поскольку множителем при первом коэффициенте b
0
является единица.
На втором шаге каждое исходное условное уравнений умножается на
свой множитель при втором коэффициенте
b с последующим сложением
уравнений и образованием второго нормального уравнения - и т.д. В итоге
формируется система нормальных уравнений, число которых равно числу
коэффициентов регрессии в уравнении (27). Для разбираемого примера это
будет система шести уравнений, приведенная ниже.
Система нормальных уравнений совместна, имеет единственное реше-
ние и минимизирует остаточную сумму, т.е. обеспечивает наилучшее реше-
ние системы условных уравнений из всех возможных решений.
nb
0
+b
1
∑
x1+b
2
∑
x2+b
12
∑
x1x2+b
11
∑
x1
2
+b
22
∑
x2
2
=
∑
y,
b
0
∑
x1+b
1
∑
x1
2
+b
2
∑
x1x2+b
12
∑
x1
2
x2+b
11
x1
3
+b
22
∑
x1x2
2
=
∑
yx1,
b
0
∑
x2+b
1
∑
x1x2+b
2
∑
x2
2
+b
12
∑
x1x2
2
+b
11
∑
x1
2
x2+b
22
∑
x2
3
=
=
∑
yx2,
b
0
∑
x1x2+b
1
∑
x1
2
x2+b
2
∑
x1x2
2
+b
12
∑
x1
2
x2
2
+b
11
∑
x1
3
x2+ (28)
+b
22
∑
x1x2
3
=
∑
yx1x2 ,
b
0
∑
x1
2
+b
1
∑
x1
3
+b
2
∑
x2x1
2
+b
12
∑
x1
3
x2+b
11
∑
x1
4
+b
22
∑
x1
2
x2
2
=
∑
yx1
2
,
b
0
∑
x2
2
+b
1
∑
x1x2
2
+b
2
∑
x2
3
+b
12
∑
x1x2
3
+b
11
∑
x1
2
x2
2
+b
22
∑
x2
4
=
∑
yx2
2
. 
сложен и трудоемок. Существует более простой способ построения системы
нормальных уравнений путем пошагового преобразования системы условных
уравнений.

      9.3 Преобразование системы условных уравнений по методу Гаус-
са. Система нормальных уравнений

     Пошаговая процедура преобразования системы условных уравнений в
систему нормальных уравнений была разработана Гауссом. На первом шаге
процедуры каждое условное уравнение системы (25) умножается на свой
множитель при первом коэффициенте регрессии b0, после чего все преобра-
зованные таким образом условные уравнения складываются сверху вниз;
суммарное уравнение и будет первым нормальным уравнением. Если, на-
пример, искомым уравнением регрессии будет полином вида


     b + b ⋅ x1+ b ⋅ x2 + b ⋅ x1⋅ x2 + b ⋅ x12 + b ⋅ x2 2 = y ,   (27)
      0 1         2        12           11        22
то результат первого шага в алгебраическом виде будет следующим

     n⋅b0+b1⋅∑x1+b2⋅∑x2+b12⋅∑x1⋅x2 +b11⋅∑x12+b22⋅∑x22=∑y,

поскольку множителем при первом коэффициенте b0 является единица.
      На втором шаге каждое исходное условное уравнений умножается на
свой множитель при втором коэффициенте b с последующим сложением
уравнений и образованием второго нормального уравнения - и т.д. В итоге
формируется система нормальных уравнений, число которых равно числу
коэффициентов регрессии в уравнении (27). Для разбираемого примера это
будет система шести уравнений, приведенная ниже.
     Система нормальных уравнений совместна, имеет единственное реше-
ние и минимизирует остаточную сумму, т.е. обеспечивает наилучшее реше-
ние системы условных уравнений из всех возможных решений.

 nb0+b1∑x1+b2∑x2+b12∑x1x2+b11∑x12+b22∑x22=∑y,
 b0∑x1+b1∑x12+b2∑x1x2+b12∑x12x2+b11x13+b22∑x1x22=∑yx1,
 b0∑x2+b1∑x1x2+b2∑x22+b12∑x1x22+b11∑x12x2+b22∑x23=
                                               =∑yx2,
 b0∑x1x2+b1∑x1 x2+b2∑x1x2 +b12∑x1 x2 +b11∑x1 x2+
               2         2       2 2        3
                                                         (28)
                                   +b22∑x1x2 =∑yx1x2 ,
                                             3

 b0∑x1 +b1∑x1 +b2∑x2x1 +b12∑x1 x2+b11∑x14+b22∑x12x22=∑yx12,
      2      3        2       3

 b0∑x22+b1∑x1x22+b2∑x23+b12∑x1x23+b11∑x12x22+b22∑x24=∑yx22.

48

Страницы