Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

58
12 Лекция 12. Показатели качества уравнений регрессии
12.1 Остаточная дисперсия полинома регрессии
Согласие между экспериментальными значениями отклика
y
g
и вычис-
ленными по найденному уравнению регрессии значениям отклика
yr
g
в об-
щем случае оценивают не по значению остаточной суммы
S
U
M
ost
(26), а по
так называемой
остаточной дисперсии уравнения регрессии , которая обо-
значается как
2
os
t
S :
(
)
(
)
1
1
2
1
2
+
−
∑
=
−
=
+
−
=
k
n
n
g
g
yr
g
y
k
n
ost
SUM
ost
S
, (44)
где
(к+1) - количество коэффициентов b в уравнении регрессии (име-
ется в виду вектор коэффициентов
b в виде вектора
k
bbibbb ,...,,....,,,
321
),
n – число строк в таблице экспериментальных данных.
Таким образом, в числителе уравнения (44) находится остаточная сум-
ма
2
os
t
S , а в знаменателе – число степеней свободы системы.
Как было показано выше, величина
yr
g
есть оценка М
{
y
g
}
, поэтому
переменная
2
os
t
S по своему содержанию является суммарной характеристи-
кой отклонения текущих значений случайной величины от среднего, т.е.
именно дисперсией. Таким образом, остаточная дисперсия характеризует
рассеивание наблюдений относительно оценки математической модели
),(),(
βη
η
xbx
∧
= .
Остаточная дисперсия является случайной величиной, так как она есть
функция случайных величин
y
g
и yr
g
, т.е. она имеет свое математическое
ожидание и свою дисперсию. Можно показать, что
{
}
2
2
vos
ost
SM
σ
= ,
т.е. что
2
os
t
S есть несмещенная оценка дисперсии воспроизводимости. 
      12 Лекция 12. Показатели качества уравнений регрессии

      12.1 Остаточная дисперсия полинома регрессии

      Согласие между экспериментальными значениями отклика yg и вычис-
ленными по найденному уравнению регрессии значениям отклика yrg в об-
щем случае оценивают не по значению остаточной суммы SUMost (26), а по
так называемой остаточной дисперсии уравнения регрессии , которая обо-
значается как   S2 :
                 ost
                                        n               2
                                             y − yr 
                                        ∑  g         g 
                          SUM          g =1 
                     S2 =        ost =                      ,         (44)
                      ost n − (k +1)           (
                                            n − k +1)
      где (к+1) - количество коэффициентов b в уравнении регрессии (име-
ется в виду вектор коэффициентов b в виде вектора

                       b1 ,b2 ,b3 ,....,bi,...,bk ),
            n – число строк в таблице экспериментальных данных.
      Таким образом, в числителе уравнения (44) находится остаточная сум-
ма S 2 , а в знаменателе – число степеней свободы системы.
    ost
     Как было показано выше, величина yrg есть оценка М{yg }, поэтому

переменная S
              2 по своему содержанию является суммарной характеристи-
              ost
кой отклонения текущих значений случайной величины от среднего, т.е.
именно дисперсией. Таким образом, остаточная дисперсия характеризует
рассеивание наблюдений относительно оценки математической модели
                                      ∧
                          η ( x, b) =η ( x, β ) .
     Остаточная дисперсия является случайной величиной, так как она есть
функция случайных величин yg и yrg, т.е. она имеет свое математическое
ожидание и свою дисперсию. Можно показать, что

                                 2
                                  { }
                              M Sost = σ vos
                                         2 ,


т.е. что   S 2 есть несмещенная оценка дисперсии воспроизводимости.
            ost

58

Страницы