Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 76 стр.

    15 Лекция 15. Коэффициенты регрессии при неадекватной
математической модели

      Математическая модель в виде полинома регрессии, адекватная функ-
ции истинного отклика, исследователю неизвестна так же, как и сама эта
функция. Выбор из ряда альтернативных полиномов при приемлемой точно-
сти принятого варианта также не позволяет найти именно адекватную мо-
дель. Поэтому обычно приходится довольствоваться каким-то приближени-
ем.
      Пусть функция истинного отклика имеет вид
                    k1         k2                  k3
     ϕ ( x) = β 0 + ∑ bi x + ∑ β ij xi x j + ... + ∑ β iii x 2 + ...   (67)
                          i                                 i
                   i =1     i =1, j >i            i =1
а мы в силу сложившихся обстоятельств можем искать только модель вида
                                       k1
                    η ( x, β ) = β 0 + ∑ β i x      .                  (68)
                                              i
                                      i =1
Это и будет неадекватностью математической модели функции истинного
отклика. В функции (67) к+1 коэффициентов, а мы в (68) находим к0+1 их
оценок. Размерность матрицы базисных функций F должна быть n(k+1), а
мы имеем матрицу F0 с размерностью n(k0+1). В матрице F0 будут отсутст-
вовать столбцы xij и xii , которые образуют полную или “истинную” матрицу
F∗. Соответственно этой ситуации имеем векторы истинных коэффициентов
β 0 , β∗
       и их оценок в полиноме регрессии b0 ,b* . Тогда в соответствии с ос-
новным уравнением процедуры регрессионного анализа (31)

                   b0 = ( F0T F0 )−1( F0T Y ) ,
а также
                 M {b0} = ( F0T F0 )−1( F0T M {Y }) .
     Поскольку расчетное значение отклика равно произведению строки
матрицы базисных функций на вектор коэффициентов регрессии

                   y€( x g , β ) = y( x g ,b) = f −T ( xg )b ,
постольку
                  M {Y } = F β = F0 β 0 + F∗ β ∗ .
Отсюда


76